Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Января 2014 в 18:50, лекция
Случайные процессы находят широкое применение при изучении сложных стохастических систем как адекватные математические модели процесса функционирования таких систем. Понятие марковских систем с дискретным и непрерывным временем. Процессы размножения и гибели.
li= qi,i+1 и mi= qi,i-1.
Требование о допустимости переходов только в ближайшие соседние состояния означает, что исходя из (14), qii=-(mi+ li). Таким образом, матрица интенсивностей переходов общего однородного процесса размножения и гибели принимает вид
Q =
Заметим, что за исключением главной и соседних с ней снизу и сверху диагоналей все элементы матрицы равны нулю. Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на рис. 4.
Более точное определение непрерывного процесса размножения и гибели состоит в следующем: некоторый процесс представляет собой процесс размножения и гибели, если он является однородной цепью Маркова с множеством состояний {E0, E1, E2, …}, если рождение и гибель являются независимыми событиями (это вытекает непосредственно из марковского свойства) и если выполняют следующие условия:
Согласно этим предположениям кратные рождения, кратные гибели и одновременные рождения и гибели в течение малого промежутка времени (t, t+Δt) запрещены в том смысле, что вероятность таких кратких событий имеет порядок о(Δt).
Вероятность того, что непрерывный процесс размножения и гибели в момент времени t находится в состоянии Ei (объем популяции равен i) определяется напрямую из (16) в виде
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений в нестационарном случае, когда вероятности Pi(t), i=0,1,2,…, зависят от времени, необходимо задать распределение начальных вероятностей Pi(0), i=0,1,2,…, при t=0. Кроме того, должно удовлетворяться нормировочное условие.
Рис.4. Граф интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели.
Рассмотрим теперь простейший процесс чистого размножения, который определяется как процесс, для которого mi = 0 при всех i. Кроме того, для еще большего упрощения задачи предположим, что li=l для всех i=0,1,2,... . Подставляя эти значения в уравнения (18) получим
Для простоты предположим также, что процесс начинается в нулевой момент при нуле членов, то есть:
Отсюда для P0(t) получаем решение
P0(t)=e-lt.
Подставляя это решение в уравнение (19) при i = 1, приходим к уравнению
Решение этого дифференциального уравнения, очевидно, имеет вид
P1(t)= lte-lt.
Далее по индукции в качестве решения уравнения (19) находим
Это знакомое нам распределение Пуассона. Таким образом, процесс чистого размножения с постоянной интенсивностью l приводит к последовательности рождений, образующей пуассоновский процесс.
Наибольший интерес в
Уравнения для определения вероятностей стационарного режима можно получить непосредственно из (18), учитывая, что dPi(t)/dt = 0 при :
Полученная система уравнений решается с учетом нормировочного условия
Систему уравнений (21) для установившегося режима процесса размножения и гибели можно составить непосредственно по графу интенсивностей переходов на рис.4, применяя принцип равенства потоков вероятностей к отдельным состоянием процесса. Например, если рассмотреть состояние Ei в установившемся режиме, то:
интенсивность потока вероятностей в и
интенсивность потока вероятностей из .
В состоянии равновесия эти два потока должны быть равны, и поэтому непосредственно получаем
Но это как раз и есть первое равенство в системе (21). Аналогично можно получить и второе равенство системы. Те же самые рассуждения о сохранении потока, которые были приведены ранее, могут быть применены к потоку вероятностей через любую замкнутую границу. Например, вместо того, чтобы выделять каждое состояние и составлять для него уравнение, можно выбрать последовательность контуров, первый из которых охватывает состояние E0, второй - состояние E0 и E1, и т.д., включая каждый раз в новую границу очередное состояние. Тогда для i-го контура (окружающего состояния E0, E1, ..., Ei-1) условие сохранения потока вероятностей можно записать в следующем простом виде:
.
Полученная система уравнений эквивалентна выведенной ранее. Для составления последней системы уравнений нужно провести вертикальную линию, разделяющую соседние состояния, и приравнять потоки через образовавшуюся границу.
Решение системы (23) можно найти методом математической индукции.
При i=1 имеем:
при i=2:
при i=3:
Вид полученных равенств показывает, что общее решение системы уравнений (23) имеет вид
или, учитывая, что, по определению, произведение по пустому множеству равно единице
Таким образом, все вероятности Pi для установившегося режима выражаются через единственную неизвестную константу P0. Равенство (22) дает дополнительное условие, позволяющее определить P0. Тогда, суммируя по всем i, для P0 получим:
Обратимся к вопросу о существовании стационарных вероятностей Pi. Для того, чтобы полученные выражения задавали вероятности, обычно накладывается требование, чтобы P0 > 0. Это, очевидно, налагает ограничение на коэффициенты размножения и гибели в соответствующих уравнениях. По существу требуется, чтобы система иногда опустошалась; это условие стабильности представляется весьма резонным, если обратиться к примерам реальной жизни. Определим следующие две суммы:
Все состояния Ei рассматриваемого процесса размножения и гибели будут эргодическими тогда и только тогда, когда S1 < и S2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям Pi, i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются только тогда, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности { } ограничены единицей, т.е. тогда, когда существует некоторое i0 (и некоторое С<1) такое, что для всех i i0 выполняется неравенство:
1 Символ o(Dt) ("o" малое от Dt) означает произвольную функцию, которая при Dt®0, стремится к нулю быстрее, чем Dt, т.е. .