Теория игр

Пример 1

Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой u = 2. Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 ==, она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

 

Пример 2

Из анализа матрицы  выигрышей видно, что , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.

 

         2.Модели  теории игр

           Когда между фирмами существует взаимодействие и поведение каждой из них обусловлено многими институциональными условиями - неполнотой информации, неопределенностью, наличием трансакционных издержек, множественностью целей, действием конкурентов и т.д., - опирающиеся на стабильность предпочтений и абсолютную рациональность участников рынка, полноту информации и существование единственного Парето-оптимального равновесия модели неоклассической теории становятся малопригодными для экономического анализа. Более предпочтительной для анализа взаимодействия участников рынка и обусловливающих такое взаимодействие условий является институциональная экономическая теория. Она исходит из того, что предпочтения не являются заданными и стабильными, а формируются под влиянием многих изменяющихся условий (институтов). Учитывая наличие информационных издержек и ограниченность знания, в качестве определяющего выбор принципа теория использует не оптимальность, а удовлетворенность. Наконец, она постулирует необязательность Парето оптимального равновесия и допускает как множественность точек равновесия, так и отсутствие равновесия вообще. В институциональной теории используются разные методы анализа, в том числе и формальные модели, применяемые для исследования взаимодействия фирм. В основе построения таких моделей лежит теория игр.

Теория игр представляет собой способ анализа взаимообусловленного поведения, когда решения одного участника оказывают влияние  на решения другого, и наоборот. Она  не требует полной рациональности в  поведении и не предполагает наличия  единственного равновесия. Поскольку  речь идет о взаимообусловленном  поведении, то вся игра строится на принципе оценки результатов стратегий участников игры. Для этого создается матрица выигрышей, представляющая собой варианты и оценки результатов решений участников взаимодействия, а сама игра может быть представлена в стратегической или развернутой форме Кроме того, игры могут быть не кооперативными, когда не допускается обмен информацией между участниками, и кооперативными, когда такой обмен возможен.

Обе формы иллюстрируют возможные  решения и оценку результатов  этих решений. Если фирма А снизит цену на свою продукцию, то она увеличит свою прибыль, увеличив объем продаж, только в том случае, если фирма Б не снизит цену на свою продукцию (15; -10). Если же фирма Б последует примеру фирмы А и снизит цену, то это приведет к снижению прибыли у обеих фирм (-5; -5). Напротив, в случае снижения цены фирмой Б и сохранения ее фирмой А прибыли последней сократятся, а у фирмы Б - вырастут (-10; 15). Только в случае сохранения существующей цены у фирм не происходит изменения прибылей (0; 0). Суть игры заключается в том, чтобы в условиях неопределенности поведения конкурента выработать равновесную, то есть наиболее приемлемую с точки зрения последствий, стратегию взаимодействия.

В рамках взаимодействия фирм могут быть достигнуты различные  типы равновесия. Когда действия фирмы А обеспечивают максимальный результат вне зависимости от характера реагирования фирмы Б, говорят о равновесии доминирующей стратегии. Оно достигается в случае пересечения доминирующих стратегий обеих фирм. Ситуация, при которой стратегия фирмы А обеспечивает максимальный результат в зависимости от действия фирмы Б, называется равновесием по Нэшу, которое означает, что ни одна из фирм не сможет увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке. Если же равновесие достигается при условии, что улучшение положения одной из фирм невозможно без ухудшения положения другой, то в этом случае имеет место равновесие по Парето. В случае, когда максимизация результатов участников игры достигается в результате принятия решения одной фирмой на основе известного ей решения другой фирмы, возникает равновесие по Штакельбергу, которое имеет место всегда.

В приведенной игре равновесие доминирующих стратегий отсутствует, так как нет стратегий, дающих максимальный выигрыш независимо от действий конкурента. Равновесие по Нэшу будет достигнуто в точке (0; 0), так как при данной стратегии ни один из участников не заинтересован ее менять. Равновесие по Парето достигается в точках (0; 0) и (-3; -3), поскольку в этих ситуациях нельзя улучшить положение одного участника без ухудшения положения другого. Что касается равновесия по Штакельбергу, то оно будет находиться для фирмы А в точке (5; -10), а для фирмы Б - в точке (-10; 5).

Модели теории игр позволяют  не только проанализировать поведение  участников рынка в той или  иной ситуации, но и выявить возникающие  в процессе их взаимодействия проблемы - координации, совместимости и кооперации. Поскольку в реальной практике фирмы  находятся в постоянном взаимодействии (повторяющиеся игры), то принимаемые  ими решения основываются на предыдущем опыте, а сами они приходят к выводу о том, что в долгосрочном периоде  кооперативное поведение выгоднее некооперативного.

Модели теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного  отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической  и культурной эволюции, а также  модели процесса обучения.

 

3.Практическое применение  теории игр.

Модель олигополии в контексте  теории игр. Равновесие Нэша.

Теория игр была разработана Дж. фон Нейманном и О. Моргенштерном в 1944 г., ее дальнейшую разработку продолжил Дж. Нэш. Теория игр имеет большое значение в экономическом анализе.

Эта теория рассматривает  поведение фирм на рынке как игру, причем имеются определенные правила  игры, по результатам которой начисляются  «призы» и «штрафы». Участники  игры определенно не знают стратегию  конкурента, поэтому их поведение  основано лишь на прогнозах.

В модели олигополии фирма  осуществляет оптимальную политику, ориентируясь на действия своих конкурентов, и предполагает, что конкуренты в  отрасли будут поступать аналогичным  образом. Данная концепция была сформулирована Нобелевским лауреатом Дж. Нэшем в 1951 г. и получила название «равновесие Нэша». Фирмы «играют», т. е. они принимают решение понизить или повысить цену, рекламировать свою продукцию или нет и т. д. Условием равновесия является то, что если дана стратегия первого игрока, второму остается только повторить его стратегию.

Например, рассмотрим стратегию  фирм А и В с понижением цены. Если обе фирмы не понижают цену, прибыль каждой составит, например, 60 млн. условных. единиц. Если одна из фирм понижает цену, она получает конкурентное преимущество и увеличивает прибыль до 85 млн. условных. ед. В это время конкурент терпит убыток в размере 25 млн. условных. ед. Если же обе фирмы в сговоре проводят политику снижения цены, прибыль каждого составит по 12,5 млн. условных. ед.

Необходимо определить, как  поступить фирмам А и В, чтобы не проиграть.

Аналогом данной ситуации на рынке служит другая игра - так  на-зываемая «дилемма заключенного». Суть этой игры в следующем: два узника содержатся в отдельных камерах и обвиняются по одному делу.

У обвинения достаточно улик, чтобы осудить узников только на два года. Узникам сообщили (каждому  отдельно), что если один сознается, а другой нет, то сознавшийся будет  свободен, а не сознавшийся получит 20 лет. Если сознаются оба, то каждый получит по 10 лет. Необходимо определить, каким будет поведение заключенного, когда реакция другого неизвестна.

Различают две стратегии  поведения, называемые maximin и maximax: 1. maximin - это стратегия пессимиста.

         2. maximax - это стратегия оптимиста.

Пессимист будет искать наилучший  вариант из наихудших результатов. Это ситуация, когда, например, узник А ждет, что узник В признается, и тогда А получит 20 лет заключения, при условии, что он не сознается. Чтобы обеспечить себе наименее плохой результат из всех плохих вариантов, узник А решает сознаться, поскольку это позволит ему получить 10 лет заключения, а не 20. Этот результат лучше, чем 20 лет заключения, если узник А не будет сознаваться.

Аналогично будет рассуждать и узник В. В результате, не сговариваясь, оба узника придут к решению сознаться  и получат по 10 лет тюрьмы.

Оптимист надеется на самый  лучший вариант решения вопроса. Узник А думает, что узник В не сознается, поэтому он решает соз-наться. Но узник В также оптимист и поступает аналогичным обра-зом. В результате, не сговариваясь, оба заключенных придут к реше-нию сознаться и получат по 10 лет тюрьмы.

Стратегии maximin и maximax привели узников к одному результату - это и есть решение Нэша.

Подобного рода решение примут и фирмы А и В на конкурентном рынке. В обоих случаях фирмы А и В решают снижать цены, и стратеги maximin и maximax приведут их к решению Нэша, т. е. понижать цены, что даст им равные прибыли - по 12,5 млн. условных. единиц, каждой фирме.

Равновесие Нэша - это такое состояние фирм, при котором стратегия каждого игрока (фирмы) является ответом на действия других игроков (фирм) не худшим из доступных ему стратегий.

Модель тайного соглашения в ценах (картель)

Картель - это форма «координированной» олигополии.

В экономической литературе картель определяют как олигополистическую модель, но некоторые экономисты относят  картель к одной из форм монополии, поскольку в результате сговора  несколько фирм действуют на рынке  как одна.

Картель представляет собой  форму сговора нескольких фирм, которые  действуют как одна большая монополия, согласуя выпуск продукции и цен.

Данный сговор существует для того, чтобы противостоять  соперничеству между фирмами  и максимизировать прибыль отрасли.

Для создания картелей необходимы следующие условия:

* существование барьеров  для входа в отрасль;

* ограничение количества  фирм, входящих в картель; 

* открытость процессов  производства и схожесть производимой  продукции, входящих в картель  фирм;

* стабильное состояние  рынка;

* согласование между членами  картеля по размеру общего  выпуска продукции;

* установление размера  квоты каждому члену картеля.

Примером картелей могут  быть разнообразные лицензионные соглашения, консорциумы по осуществлению научных  разработок и т. п. Во многих странах (США, Франция, Германия и др.) запрещена  деятельность картелей, которая связана  с делением рынка, установлением  фиксированных цен, ограничением объема выпускаемой продукции.

Модель тайного соглашения в ценах повторяет модель чистой монополи. Все олигополистические фирмы договариваются о разделе рынка, картельной цене Рк и соответствующей квоте. Прибыль максимизируется при МС = МR и объеме Qк. Фирмы работают на эластичном участке спроса (DkL)> получая общую экономическую прибыль (МРКLI), и распределяют ее в зависимости от размера квоты каждой фирмы.

Когда картельные фирмы получают достаточно высокую прибыль, они  позволяют более мелким фирмам входить  на данный рынок. О-резок LDК они отдают мелким фирмам, но вступление в картель остается заблокированным. Иногда фирмы, входящие в картель, нарушают сговор. Они начинают снижать цены или увеличивать объем своей продукции в количестве большем, чем предусмотрено картельной квотой, тем самым, забирая часть рынка у других членов картеля. Следует сказать, что картелями предусмотрены штрафы для нарушителей картельных соглашений.

Картель представляет собой  пример кооперативной игры. В этой игре п участников, причем обязательное условие картельного соглашения заключается в том, что каждый участник «игры» получит то, на что он рассчитывает в случае объединения против него всех других олигополистов.

Модель олигополии Курно

Модель Курно предполагает, что на рынке функционирует всего две фирмы (дуополия). Каждая фирма предполагает, что цена и объем производства конкурента неизменны, а затем принимает свое решение по объему производства.

Например, производитель - дуополист I начинает производство первым. Сначала он является монополистом, производя Q1 продукции.

Данный объем продукции  при цене Р позволяет ему максимизировать прибыль, поскольку MR = МС = 0. В данном случае, при данном объеме производства, эластичность рыночного спроса равна единице. Общая выручка (ТR) достигает максимума.

Затем производство начинает вести дуополист II, в его понимании объем выпуска сдвинется вправо на расстояние 0Q1. Он воспринимает участок AD рыночного спроса (DD1) как кривую остаточного спроса, причем ей соответствует кривая предельного дохода (MR2) дуополиста II. Объем производства дуополиста II будет равен половине не-удовлетворенного спроса дуополиста I, т. е. Q1 Q2 что дает ему возможность максимизировать прибыль. Выпуск составит 1 /4 часть всего рыночного объема.

Следующие действия дуополиста I основаны на том, что он предполагает, что выпуск дуополиста II останется неизменным и т. д.

Правило дуополии Курно следующее: если продавец I снизит свой выпуск на единицу, то продавец II увеличит свой выпуск на половину единицы (и наоборот).

Равновесие в модели Курно можно показать через кривые реакции, которые отражают максимизирующие прибыль объемы выпуска одной фирмы по отношению к другой (если даны объемы выпуска конкурента) Каждая фирма при равновесии устанавливает такой объем производства, который соответствует своей собственной кривой реакции. Поэтому

равновесный уровень объема производства находится на пересечении  двух кривых реакции (равновесие Курно).

При равновесии Курно каждый дуополист стремится и устанавливает объем производства, который максимизирует его прибыль, при определенном объеме своего конкурента. Поэтому у дуополистов нет стимула к изменению своего объема производства.