Історія розвитку алгебри і математичної логіки

Спираючись на цей математичний інструментарій, логіка висловлювань вивчає висловлювання і предикати. Також вводяться додаткові операції, такі як еквівалентність   ("тоді і тільки тоді, коли"), імплікація   ("отже"), складання по модулю два   ("що виключає або»), штрих Шеффера  , стрілка Пірсу   та інші.

Логіка  висловлювань послужила основним математичним інструментом при створенні комп'ютерів. Вона легко перетворюється в бітову логіку: істинність висловлювання позначається одним бітом (0 - ХИБНІСТЬ, 1 - ІСТИНА); тоді операція   набуває суті вирахування з одиниці;   - немодульного складання; & - множення;   - рівності;   - в буквальному розумінні сума за модулем 2(що виключає АБО - XOR);   - сума не перевищує 1 (тобто A   B = (A + B) <= 1).

Згодом булева алгебра була узагальнена від логіки висловлювань шляхом введення характерних для логіки висловлювань аксіом. Це дозволило розглядати, наприклад, логіку кубітів, потрійну логіку(коли є три варіанти істинності висловлювання : "істина", "хибність" і "невизначено") та ін.

9. Властивості логічних операцій

Комутативність: x y = y x,  {&,  }.

Ідемпотентність: x x = x,  {&,  }.

Асоціативність: (x y) z = x (y z),  {&,  }.

Дистрибутивність кон'юнкцій і диз'юнкції відносно диз'юнкції, кон'юнкції і суми за модулем два відповідно:

,

,

.

 

Законы де Мо́ргана:

,

.

Закони поглинання :

,

.

Інші (1):

.

.

.

.

, інволютивність заперечення, закон зняття подвійного заперечення.

Інші(2) :

.

.

.

.

Інші(3) (Доповнення законів  де Мо́ргана) :

.

.

 

2.  Історія математичної логіки

 

Математи́чна ло́гіка є наукою про закони математичного мислення. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти.

Історія

Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись  від конкретного змісту. Творцем  формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови — алгебру логіки, — запропонував Джордж Буль (1815—1864). Логіко-математичні мови і теорія їх смислу розвинуті в роботах Готлоб Фреге (1848—1925), який ввів поняття предикату і кванторів. Це надало можливість застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики на мові математичної логіки та аксіоматизація арифметики зроблені Джузеппе Пеано (1858—1932). Грандіозна спроба Г.Фреге та Бертран Рассел (1872—1970) зведення всієї математики до логіки не досягла основної мети, але привела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливе.

На межі 19 століття-20 ст. були відкриті парадокси, зв'язані з основними поняттями теорії множин (найвідомішими є парадокси Георг Кантор та Б. Рассела). Для виходу з кризи Л. Брауер (1881—1966) висунув інтуїціоністську програму, в якій запропонував відмовитися від актуальної нескінченності та логічного закону виключеного третього, вважаючи допустимими в математиці тільки конструктивні доведення. Інший шлях запропонував Давид Гільберт (1862—1943), який в 20-х роках 20 ст. виступив з програмою обґрунтування математики на базі математичної логіки. Програма Гільберта передбачала побудову формально-аксіоматичних моделей (формальних систем) основних розділів математики та подальше доведення їх несуперечливості надійними фінітними засобами. Несуперечливість означає неможливість одночасного виведення деякого твердження та його заперечення. Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої хочемо довести, стає предметом вивчення певної математичної науки, яку Давид Гільберт назвав метаматематикою, або теорією доведень. Саме з розробки Д. Гільбертом та його учнями теорії доведень на базі розвинутої в роботах Готлоб Фреге та Бертран Рассела логічної мови починається становлення математичної логіки як самостійної математичної дисципліни.

1. Застосування

Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком  зростає глибоке проникнення  ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику,лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку та розширення сфери застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий аппарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки і техніки.