Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

 

Факультет Естественных и Инженерных наук

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

 

 

Курсовая работа по «Теории вероятности и математической статистики»

 

 

Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

 

 

Студентки II курса группы 2241

Селиверстовой Дарьи Валерьевны

 

 

 

 

Руководитель:

 Доц. к. т.н.: Богомолова Е. В.

_____________________

 

 

 

 

Дубна, 2012 г. 

Оглавление

 

 

Введение

В данной курсовой работе проводим статистическую обработку результатов испытаний для двух разных задач. В первой задаче представлены контрольные обмеры 100 валиков. Для статистической обработки строим полигон и гистограмму частот, это позволяет нам определить вид распределения. Проверяем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. Вычисляем числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, коэффициент вариации, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Оцениваем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительных интервалов с заданной надежностью.

Во второй задаче представлена корреляционная таблица распределения 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выписка продукции Y (млн. руб.). По данным этой таблицы находим выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y, строим их графики. Вычисляем коэффициент корреляции, который позволяет нам судить о прямой или обратной зависимости прямых линий регрессии и их силе. Также находим выборочное корреляционное отношение, которое оценивает тесноту связи между Y и X, X и Y. Вычисляем интервальные оценки для генеральных коэффициентов регрессии.

Для статистической обработки результатов используем различные методы: метод моментов, наибольшего правдоподобия, метод произведений вычисления выборочных средней дисперсии, метод сумм вычисления выборочных средней дисперсии, используем разделы теории корреляции и статистической проверки статистических гипотез.

 

Статистическая обработка

Одномерные случайные величины

Задача №1. Контрольные обмеры 100 валиков дали следующие результаты:

Табл.№1

7,39	7,43	7,54	7,64	7,4	7,55	7,4	7,26	7,42	7,5
7,32	7,31	7,28	7,52	7,46	7,63	7,38	7,44	7,52	7,53
7,37	7,33	7,24	7,13	7,53	7,53	7,39	7,57	7,51	7,34
7,39	7,47	7,51	7,48	7,62	7,58	7,57	7,33	7,51	7,4
7,3	7,48	7,4	7,57	7,51	7,4	7,52	7,56	7,4	7,34
7,23	7,37	7,48	7,48	7,62	7,35	7,36	7,4	7,45	7,29
7,48	7,58	7,44	7,56	7,28	7,59	7,47	7,62	7,54	7,2
7,38	7,43	7,35	7,56	7,51	7,47	7,4	7,29	7,2	7,46
7,42	7,44	7,41	7,29	7,48	7,39	7,5	7,38	7,45	7,5
7,45	7,42	7,29	7,53	7,34	7,55	7,33	7,32	7,69	7,46

 

 

Составим интервальный ряд для контрольных обмеров 100 валиков. Для этого находим максимальные и минимальные варианты и, используя заданный шаг h=0,07 – расстояние между двумя соседними вариантами, прибавляем h к х=7,13 до тех пор пока не перекроем максимальное значение х=7,69; От интервального вариационного ряда переходим к дискретному вариационному ряду, приняв за новые варианты у – середины интервалов; Перейдем к условным вариантам: u=(y-C)/h, где u – условная варианта середины интервала, С – ложный нуль (С=7,38)

Табл.№2

интервалы:	У	n		U	n*u		n*(	n*	n*	n*
7,13-7,20	7,17	1	0,01	-3	-3	-3,95	15,6025	9	-27	81
7,20-7,27	7,24	5	0,05	-2	-10	-2,95	43,5125	20	-40	80
7,27-7,34	7,31	13	0,13	-1	-13	-1,95	49,4325	13	-13	13
7,34-7,41	7,38	23	0,23	0	0	-0,95	20,7575	0	0	0
7,41-7,48	7,45	18	0,18	1	18	0,05	0,045	18	18	18
7,48-7,55	7,52	23	0,23	2	46	1,05	25,3575	92	184	368
7,55-7,62	7,59	11	0,11	3	33	2,05	46,2275	99	297	891
7,62-7,69	7,66	6	0,06	4	24	3,05	55,815	96	384	1536
сумма	-	100	-	-	95	-3,6	256,75	347	803	2987

 

 

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; n1), (х2; n2), … (xk;nk).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi;ni). Соединяют отрезками прямых и получают полигоны частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;W1) … (xk;Wk).Для построения полигона относительных частот  на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты Wi. Точки …(xi;Wi).соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Для построения полигона используем частоты и варианты у – середины интервалов дискретного вариационного ряда.

 

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hni/h=ni – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительны частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h=Wi – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Для построения гистограммы используем частоты и интервалы интервального ряда

 

Выборочная средняя:

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней хв называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения х1, x2,…,xn признака выборки объема n различны , то

=(х1, x2,…,xn)/h.

Если значения признака х1, x2,…,xk имеют соответственно частоты n1,n2…,nk, причем n1+n2+…+nk=n, то

=(n1х1+n2х2+…+nkхk)/n, или =,                                                      [1]

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равным соответствующим частотам.

По данным интервального ряда  7,4465

Выборочная дисперсия:

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят свободную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения х1, x2,…,xn признака выборки объема n различны, то

Dв=(⅀(хi–)2)/n.

Если же значения признака х1, x2,…,xk имеют соответственно частоты n1,n2,…,nk, причем n1+n2+…+nk=n, то

Dв=(,                                                                                                [2]

т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратический корень из выборочной дисперсии:

*в =                                                                                                                          [3]

Вычисление дисперсии можно упростить, используя теорему:

Теорема: Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

D=                                                                                                                  [4]

Доказательство: Справедливость теоремы вытекает из преобразований:

Dв=(=

Выборочная дисперсия является смешенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно М(Dв)= Dг.                                                                                            [5]

Чтобы найти исправленную дисперсию, которую обозначают S2 нужно умножить Dв на дробь .

Для контрольных обмеров валика:

Выборочная дисперсия – Dв=0,012581,

Выборочное среднее квадратическое отклонение – *в =0,11216394,

Исправленная дисперсия – S=0,113297.

 

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой me называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то me=xk+1; при четном n=2k медиана me=(xk+ xk+1)/2.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

V=                                                                                                 [6]

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов. Тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации – безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

По результатам контрольного обмера валиков:

Медиана – me=7,44

Мода – Мо=7,44

Коэффициент вариации – V=21,51806%

 

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

Аs=m3/σв3, где m3 – центральный эмпирический момент третьего порядка            [7]

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

Ек=m4/σ4в – 3, где m4 – центральный эмпирический момент четвертого порядка   [8]

m3=[M3–3M2M1+2(M1)3]*h3                                                                                      [9]

m4=[M4 – 4M3M1+6M2(M1)2 – 3(M1)4]*h4                                                                 [10]

m2=[M2 – (M1)2]*h2                                                                                                       [11]

Mk=(∑nixik)/n                                                                                                               [12]

Для данного интервального ряда условные и эмпирические моменты:

M1	0,95
M2	3,47
M3	8,03
M4	29,87
m3	-5E-05
m4	0,000377

 

Тогда можно вычислить: As= 0,03518 и = 0,61796

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Перейти к дискретному вариационному ряду, взяв середины интервалов за новые варианты.
2. Вычислить непосредственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение *.
3. Вычислить теоретические частоты