Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Декабря 2013 в 18:03, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы для экзамена по "Высшей математике".
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+Dx;f(x0+Dx))на графике функции называется секущей.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
. Геометрический смысл производной
прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f’(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.
При Dх®0, значение х0+Dх®х0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью. -уравнение нормали в точке х0.
13 Дифференцируемость функции
Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.
Функция y=f(x), называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение функции (Dy) может быть представлено: Dy=A*Dx+a(Dx)Dx, где А-число, не зависящее от Dх, а a(Dx) – бесконечно малая функция.
Теорема: для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: необходимость: пусть функция дифференцируема в точке, тогда её приращение может быть записано как Dy=A*Dx+a(Dx)Dx. Разделим всё на Dx: , переходя к пределу: . По определению в точке х0 имеется конечная производная А. Достаточность: пусть существует конечная производная функции y=f(x) в точке х0: ,
Теорема (второе определение непрерывности): если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то она и непрерывна в этой точке. Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке, то её приращение можно записать Dy=A*Dx+a(Dx)Dx, найдем предел: , это означает, что функция в точке непрерывна. Обратное НЕ верно.
14 Правила дифференцирования.
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, тогда:
(f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x) доказывается нахождением предела при Dх®0.
(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(
(Сf(x))’=Cf’(x)
15 Производные элементарных функций
16 Производная сложной функции
y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0). Док-во: -*, т.к функция дифференцируема в точке u0, то её производная м.б. записана: , тогда её приращение м.б. представить
f(u0+Du)-f(u0)=ADu+a(Du)Du, где a(Du)-бесконечно малая, А-производная в точке u0. f(g(x0+Dx))=f(u0+Du), f(g(x0))=f(u0). В *
17 Производная обратной функции
определение: функция y=f(x), множеству Х ставит в соответствие Y, где Х-D(f) и Y-E(f). Если каждому y из Y ставится в соответствие x из X, причем х – единственное, то определена функция x=j(y), где Y-D(j), X-E(j) такая функция x=j(y) – обратная к y=f(x), x=f -1(y).
Из определения обратной функции вытекает, что функция y=f(x) имеет обратную производную тогда и только тогда, когда она задаёт взаимнооднозначное соответствие между X и Y=> любая строго монотонная функция имеет обратную производную, если исходная функция возрастает, то и обратная возрастает.
Теорема о производной обратной функции: пусть y=f(x) определена и строго монотонна в окрестности точки х0, x=f -1(y) – обратная к ней функция, тогда если функция y=f(x) имеет производную в точке х0¹0, то и обратная функция имеет отличную от нуля производную в точке y0=f(x0) и её производная вычисляется : Док-во:
Замечание: переход от Dу®0 на Dх®0 осуществим в виду того, что функция f(x) и f -1(у) дифференцируемы в точках х0 и у0, а раз функции дифференцируемы, то они не прерывны, а по второму определению непрерывности бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции.
18 Понятие дифференциала
Приращение функции: f(x+Dx)-f(x)=f ’(x)Dx+a(Dx)Dx.
Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции т.е. dy= f ’(x)Dx. Если f(x)=x, то dy=dx=(x)’ Dx=Dx.
Геометрический смысл дифференциала:
QN – величина дифференциала. Рассмотрим треугольник MNQ. tga=MN/MQ – производная в точке. NQ=f ’(x0) Dx.
Приближенное вычисление при помощи дифференциала:
f(x+Dx)-f(x)=f ’(x)Dx+a(Dx)Dx, где a(Dx)Dx – б.м.функция.
f(x+Dx)-f(x)»f ’(x)Dx
19 Производная и дифференциал высших порядков
Понятие производной n-ого порядка: если y=f(x) дифференцируема, то f ’(x) – так же является функцией аргумента х, следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о её производной. Назовём производную второго порядка или второй производной производную от производной функции f ’’(x)=(f ’(x))’. Производная n-ого порядка от х:
20. Теорема Ферма: пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х0Î(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю. Док-во: пусть для определённости функция в точке х0 принимает наибольшее значение, тогда для любого хÎ(a;b), х¹х0, f(x)£f(x0). Таким образом приращение функции равно: Dy=f (x)-f(x0), где х=х0+Dх или Dy=f(х0+Dх)-f(x0). Dy£0, тогда . Рассмотрим Dх>0: Dy£0, Dx>0, f ’(x0)£0; рассмотрим Dx<0: Dy£0, Dx<0,
f ’(x0)³0. отсюда следует, что f ’(x0)=0.
Замечание: теорема не верна, если рассматривать функцию на отрезке, а не на интервале.
21. Теорема Роля: если функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], причём выполнено: 1) функция не прерывна на отрезке, 2) функция дифференцируема в интервале (a;b), 3)f(a)=f(b), тогда найдётся такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), такая, что значение производной в этой точке равно нулю. Док-во: так как функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса функция принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. есть такие x1 и x2, принадлежащие интервалу (a;b), для которых f(x1)=M, f(x2)=m, и m£f(x)£M. Тогда возможны два случая: 1) M=m, 2)M>m. В случае 1 функция является const, f ’(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме ферма f ’(C)=0.
22. Теорема Лагранжа: Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо: . Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)- , она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля: 1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+ , 2) F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0- , 3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .
Замечание: равенство f(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
23. Теорема Коши: Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g’(x)¹0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула: . Док-во: данная формула имеет смысл в случае, если g(b)¹g(a). Если бы эти значения были бы равны, то по теореме Ролля для функции g(x) нашлась бы такая точках0, что g’(x0)=0. по условию g’(x)¹0, значит g(b)¹g(a). Составим вспомогательное уравнение: F(x)=f(x)-f(a)- . Это уравнение удовлетворяет всем трём условиям теоремы Ролля, тогда по теореме Ролля для функции F(x) найдётся такая точка С, что F’(c)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .
Замечание: эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных производных.
24 Правило Лапиталя
Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при х®х0 есть неопределённость вида [0/0] если и . Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.
Теорема Лапиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что и , g’(x)¹0. тогда если существует предел , то существует и и они равны между собой.
Док-во: применим к функциям f(x) g(x) теорему Коши на отрезке [x0;x], тогда найдётся такая точка СÎ(a;b) для которой выполняется , тогда . Переходим к пределу при х®х0: .
Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥].
25 Монотонность функций.
Признак монотонности: Если функция дифференцируема на интервале и её производная в точке принадлежащей этому интервалу больше или равна нулю, то функция является неубывающей, если производная меньше или равна нулю, то функция невозрастающая.
Док-во: рассмотрим случай f ’(x)³0. пусть x1,x2Î(a;b), x1<x2, тогда на отрезке [х1;х2] функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по теореме следует:
f(x2)-f(x1)=f ’(c)(x2-x1), f ’(c) ³0, f(x2)-f(x1) ³0, f(x2) ³f(x1).
26 Экстремумы функций.
Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (xÎ(x0-d;x0+d)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).
Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.
Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-d;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f ’(c)>0*(x0-x)>0, cÎ(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+d): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-d;x0+d) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.
28, 29 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
Определение: график функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вверх, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на этом интервале. График функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вниз, если он расположен выше любой касательной к графику функции на этом интервале.
Теорема: если функция f(x) имеет на интервале (a;b) вторую производную и она является положительной во всех точках этого интервала, то тогда график функции является выпуклым вниз на этом интервале (если вторая производная отрицательная, то выпуклость вверх)
Док-во:
рассмотрим f ’’(x)>0 на (a;b).
Возьмем точку СÎ(a;b). Необходимо
доказать, что функция
на (a;b) лежит выше любой
касательной. Уравнение
касательной в точке
С: y=f(c)-f’(c)(x-c) наёдём
разность между функцией
и касательной используя
теорему Лагранжа: f(x)-f(c)-f’(c)(x-c)=f’(c1)(x-
Определение: точка х0 называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует (x0-d;x0+d) в пределах которой график функции слева и справа от х0 имеет разные направления выпуклостей.
Необходимое условие точки перегиба: пусть график функции имеет в точке х0 перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.
Достаточное условие точки перегиба: пусть функция имеет вторую производную в (x0-d;x0+d), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от х0, то график функции имеет перегиб в этой точке.