Шпаргалка по теории вероятностей

 

51. Объем выборки.

Выборочной  совок-тью или просто выборкой,  наз. совок-ть случайно отобранных объектов.

Ген. совок-тью наз. совок-ть объектов, из кот. произв-ся выборка.

Объемом совок-ти (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совок-ти.

При составлении выборки  можно поступать двояко: после  того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в ген. совок-ть. В соот-вии с этим, выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Объем выборки для  повт. отбора: ▲= (t_γσ_о) /      ;     n = (t_γ²σ_о²) /▲²

объем выборки для  бесповт. отбора: ▲= (t_γσ_о / )* ;   n = (Nt_γ²σ_о²) / N▲² + t_γ²σ_о²

 

 

52. Доверит.  Интервал для ген. доли. Связь  м/у ген. долей и выбор. долей.

Провод-ся послед-е независ-ые испытания Бернулли, вер-ть появл-ия события А в каждом из кот. = р  и нам неизвестна. Пусть произведено n – независ. испыт-й, в кот. соб. А  появилось m – раз, тогда выбор. доля (w) w = - отн. частота.

Зададим довер. вер-ть γ = Р (| w - р|<▲) = γ

р – ген. доля или вер-ть соб. А

w – выб. доля или  отн. частота события.

Сред. Ошибку долей обозн-м   μ_g = при больших объемах выборок (n>30) относит. частота стремится к норм. распред-ю с увелич-ем n, поэтому можно считать, что она распределена нормально.

 Р (| w - р|<▲) = Ф  (▲/ ) = Ф (▲/μ_g)

Д (w) = Д ( ) = =

σ (w) = =

μ_g =

μ_g = = σ (w) =

М(w) = М ( ) = Р – ген. доля или вер-ть.

Р (| w - р|<▲) = Ф (▲/ ) = γ

Ф ((▲ )/ ) = γ

t_γ =( (▲ )/ )

▲ = (t_γ )/ = t_γ

довер. интервал для неизв. ген. доли (вер-ти) принимает вид

 w - ▲< p< w +▲

w - (t_γ )/ < p< w + (t_γ )/

p w

q = 1 - p 1 – w

w – ( t_γ ) / < p< w + ( t_γ ) /

 

 

 53. Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные, параметрические гипотезы. Статист. критерий. Критическая область.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Гипотезы относ-но параметров распределения наз. параметрическими.

Гипотезы бывают простые  и сложные.

Простая – гипотеза, содержащая только одно предположение.

Сложная – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Стат. критерием (значимости) наз. СВ X, кот. является ф-цией выборки K=К(х₁, х₂, х₃,…,х_n) (статистической) и служит для проверки гипотезы, с ее помощью принимается решение о принятии или отвержении гипотезы Н₀.

Критическая область – совок – ть значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия гипотезы (область допустимых значений) – совок-ть значений критерия, при кот. гипотезу принимают.

 

54. Ошибки I и II рода. Мощность критерия. Уровень значимости.

     При проверке  гипотез могут быть совершены  ошибки  2-х родов: 

1) Ошибкой I рода наз. такая ошибка, кот. совершается, если будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки I рода обозначается a и наз. уровнем значимости:

a £ 0,1 

 Отклонения нулевой гип. на уровне a = 0,05 означ, что мы не ошибаемся в 95 случаях из 100 или совершаем всё таки ошибку, принимая правильную гипотезу за ложную в 5 случаях из 100.

2) Ошибка II рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза H₀ . Вер-сть ошибки II рода обозначается b .

 Мощностью критерия k наз. вер-сть М несовершения ошибки II рода: М= 1-b. Др. словами, мощность критерия – это вер-сть того, что нулевая гип. будет отвергнута, если верна конкурируюшая гип. H₁.

Если n®¥, b®1, то критерий наз. критерием согласия.

При данном уровне значимости a из всех критериев лучшим будет тот, у кот. вер-сть ошибки II рода b будет минимальной.

После выбора критерия k множ-во всех его значений распадается на 2 непересекающихся подмножеств: критическую область W и О.Д.З. (или обл. принятия гипотезы).

 

ОДЗ                         W

                                                              k          Если значение критерия k_набл. попадает в критич.

 

область, то нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей  гип. H₁. Если k_набл. попадает в О.Д.З., то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. рез-ты опыта согласовываются с гипотезой.

Критической точкой наз. значение критерия k_крит. , кот. отделяет критич. обл. от области принятия гипотезы. Критич. точки определяются из условия:

                         P(k_крит. Î W)= a 

 

 

55. Алгоритм  проверки стат. гипотез:

1) Располагая выборочными данными x₁, x₂, … x_n и руководствуясь условиями задачи, формулируют нулевую гипотезу H₀ и конкурирующую H₁.

2) Задают a.

3) Определяют критерий k=k(x₁, x₂, …x_n),  кот. явл. случайной величиной и в силу случайности выборки  x₁, x₂,… x_n  подчиняется при выполнении гип. H₀ некоторому известному затабулированному закону распределения.

Значения функции k позволяют судить о расхождении выборки с гипотезой.

4) Определяют критич. область. 

Вер-сть того, что критерий k примет значение из крит. области равна a (уровню значимости)

Критич. обл. W должна быть расположена так, чтобы при заданном уровне значимости a вер-сть ошибки II рода b была минимальной.

5) В формулу критерия  вместо x₁, x₂,…x_n подставляют элементы выборки и вычисляют k_набл. Если k_набл. ÎW, то гипотезу H ₀ отвергают в пользу  H₁.

Если  k_набл. ÏW, то отвергнуть H₀  нет оснований.

Замечание: критич. область (правосторонняя, левостор. или 2-хстор.) определяют по виду конкурир. гипотезы H₁.

 

 

 

56. Проверка  гипотез о равенстве мат. ожиданий 2-х нормально распределённых  СВ при известных дисперсиях.

Пусть даны 2 норм. СВ X и Y с параметрами

X®N(a_x, d_x)

Y®N(a_y, d_y)

Д(Y) = d_y² .

Предположим, что дисперсии d_x² и d_y² – известны, а мат. ожидания  M(X)= a_x , M(Y)= a_y  - неизвестны.

Выдвинем гипотезу H₀ о равенстве мат. ожиданий:    H₀: a_x = a_y. Если  сделаны 2 независ. выборки из ген. совокупностей X и Y , объёмами H₁ и H₂  соответственно:         H₁: a_x ¹ a_y.

Выбираем статистику

/Доказано, что эта  статистика Z имеет стандартное нормальное распределение с параметрами (0;1):  Z ® N(0;1) (d₀ = 1). Зададим уровень значимости a. По табл. ф-ции Лапласса по заданному уровню значимости a находим k_крит. =Z_a/2 . (Критич. обл. двусторонняя).

  P( êZ ê³ Z_a/2) = a

P ( êZ ê³ Z_a/2 ) = P( Z £ - Z_a/2)+ P(Z ³ Z_a/2) = P(-¥< Z <-Z_a/2)+ P(Z_a/2£ Z <+¥) = ½ ( Ф(-Z_a/2) -

- Ф(-¥) + Ф(+¥) - Ф(Z_a/2) = ½ (-Ф(Z_a/2) +1+1 - Ф(Z_a/2)) = 1- Ф(Z_a/2)                               

           1- Ф(Z_a/2) = a

Ф(Z_a/2) = 1 - a,

                                     x

где  Ф(х) = 2/Ö2p  * ₀ìe^-t2/2 dt  (Ф-ция Лапласса).

По табл. ф-ции Лапласса мы находим Z_a/2 = k_кр., если:

1)  êZ ê< Z_a/2, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

2)  êZ ê³ Z_a/2, то Н₀ отвергается в пользу Н_1.

3)   H₀:  a_x = a_y

      H₁:  a_x = a_y  

P( Z > Z_a) = a     Þ    Ф(Z_a) = 1 - 2a     (по ф-ции Лапласса и по уровню знач.)

 

 

 

57.Сравнение  двух дисперсий в нормальной  генеральной совокупности.

   По независимым  выборкам объема n₁ и n₂, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные статистические дисперсии S²_x  и S²_y. Сравниваем эти дисперсии: H₀  : Д(X)=Д( Y); H₁  : Д( X) >Д(Y ). Зададим уровень значимости a. Устанавливаем, что критическая область правосторонняя. В качестве критерия для сравнения нужно выбрать критерий Фишера-Снеддекора.

   Fнабл. < F_кр. – гипотезу H₀  принимаем, в противоположном случае – отвергаем. F_набл.= S²_б  / S²_м , где S²_б – большая по величине исправленная дисперсия, S²_м  - меньшая по величине исправленная дисперсия. Критическое значение критерия F_кр.   находим по тадлице, по уровню значимости a, по числу степеней свободы.

   F_кр. = F(_a,k1,к2 ) ,где к₁₌ n₁  -1; k₂  =n₂ –1.  к – число степеней свободы СВ с большей S²_б.