Шпаргалка по "Математике"

1. Матрицы. Виды матриц.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей     n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.  Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то  матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.

 

2.Действия над матрицами.

1)Умножение  матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная lА, каждый элемент которой находится по формуле:    b_ij =l x a_ij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С_ij=a_ij+b_ij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. Умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы   j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

 

3. Определители 1, 2, 3-го порядков

 Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например, пусть 

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно  по одному элементу из каждой строки и  каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая  называется правилом треугольников  или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.Пример:

 

4. Свойства  определителей.

1.) если строка (столбец)  матрицы состоит из одних нулей,  то ее опре-ль = 0; 2.) если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число; 3.) при транспонировании матрицы ее определитель не изменится; 4.) при перестановке 2х строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный; 5.) если матрица содержит 2 одинаковых строки, то ее опр-ль = 0; 6.) если элементы 2х строк матрицы пропорциональны, то ее определитель=0; 7.) сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки матрицы = 0; 8.) определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число; 9.) сумма произведений чисел b1, b2,…bn на алг.дополнение элементов любой строки = определителю матрицы, полученого из данной матрицы заменой элементов этой строки на числа b1, b2,…bn; 10.) опр-ль произведения 2х квадратных матриц = произведению их определителей. С = AB => |A|*|B|

 

5. Минор,  алгебраическое дополнение. Теорема  Лапласа

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

т. Лапласа: Определитель любой квадратной матрицы = сумме  произведений элементов любой строки или столбца, умноженное на их алгебраич.дополнения.

 

6.Обратная  матрица. Алгоритм нахождения. Матричные  уравнения.

Матрица А-1  называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы):  обратная матрица А-1  сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная.Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1)находим определитель исходной матрицы.если |А|не равно 0,то переходим к след. Этапу.2)Находим А^т; 3)Находим алгебраическое дополнение эл-ов А^т и составляем из них присоедин матр. 4)Вычисляем обратную матр; 5) проверка правильности. Уравнения: 1) A*x=B (*A^-1cлева) x= A^-1*B; 2) x*A=B (*A^-1 справа) x=B*A^-1; 3) A*X*B=C (*A^-1слева и *B^-1cправа) x= A^-1*C*B^-1 .

7.Ранг  матрицы. Основные теоремы о  ранге матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается: rank A; rang A; r (A). Теоремы: 1) Ранг м.не изменяется при ее элементарных преобразованиях; 2.)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно-независимых строк или столбцов через которые линейно выражаются все ее остальные строки и столбцы. 

 

8. Системы линейных уравнений.  Основные понятия. 

Определение. Система  линейных уравнений — это объединение  из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы  уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство. Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Переменная xi называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной xi должен быть равен нулю.

 

9. Алгоритмы  решения СЛУс квадратной матрицей: метод Крамера, метод обратной матрицы.

Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

 

Метод обратной матрицы. Рассмотрим систему уравнений с неизвестными Если определитель матрицы A отличен от нуля , то решение системы может быть найдено по формуле x=A^-1B, где A^-1 обратная к матрице A.

 

10. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса-Жордана решения системы СЛУ.

Теорема. Для того чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы. Определение: Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной  матрицы, т.е.  , то ранг    матрицы системы называют рангом системы. Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

 

11. Балансовая модель Леонтьева.

Цель бал.анализа ответить на “каким должен быть объем пр-ва каждой из n отраслей чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?”. Соотношения баланса: (i=1,2,n) – величины имеют стоимостное выражение. Коэф-ты прямых затрат показывают затраты продукции i-й отрасли на произ-во единицы продукции j-й отрасли. Линейная зависимость мат.затрат от вал.выпуска: x_ij=a_ijx_j (i, j=1,2,..n). Осн.задача м.б. состоит в отыскании вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Матрица S=(E-A)^-1 наз-ся матрицей полных затрат.

 

12. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением  называется (ā;b) число = произведению длин этих векторов на cos угла между ними. В.a*в.b=|a|*|b|*cos φ.

 

 

13. Уравнения прямой на плоскости.

Уравнением на плоскости  называется уравнение, которому удовлетворяют  координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на ней линии.

1̊. Y=kx+b; уравнение прямой с угловым коэф.k проходящая через точку (x;y). Если b=0, то y=kx, проходит через нач.координат и если tgα(k)>0, то обр.острый улол с ОХ, k<0 то образуется тупой угол, k=0 прямая совпадает с ОХ.  2̊.y-y1=k(x-x1) уравнение прямой проходящ.через данную точку в данном направлении. Образуется путем вычисления kx+b из kx1+b. Если в этом уравнении k-производное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку.  3̊. =. Уравнение прямой, проходящ.через 2 точки. Даны точки m1, m2. Уравнение пучка прямых, проходящ.через т.m1 y-y1=k(x-x1). Т.к. m2 принадлежит этой прямой то выделим эту прямую из пучка подставив ее координаты в уравнение y2-y1=k(x2-x1). k=y2-y1/x2-x1, y-y1=y2-y1/x2-x1 => 1ое уравнение.                 4̊. y/b + x/a=0 уравнение прямой в отрезках. 5̊. Ax+By+C=0. Общее уравнение прямой. При всех A,B,C это ур-ие записывает прямую на корд.пл., значит это ур-е верно для всех прямых. 6̊. k2-k1/1+k1*k2 угол между 2мя прямыми.

 

14. Угол между двумя прямыми. Условия || и ⊥ прямых. Точка пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой.

                          Угол: пусть заданы 2 прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2

                           φ=α1-α2, tgα=tg(α2-α1)= ;     

                             || и ⊥ прямых: y=k1x+b1 и y=k2x+b2. Если прямые ||, то φ=0 => tgφ=0 или k1=k2 и наоборот если k1=k2, то φ=0 => равенство k прямых явл-ся необх.условием параллельности прямых.               

                            Если прямые ⊥ то φ=п/2, ctgφ=0. Ctg=1/tg=1+k1k2/k2-k1=0 => 1+k1k2=0 => k1k2=-1. Пусть прямые заданы общим ур-ем: A1,2x+B1,2y+C1,2=0 => k1=-A1/B1, k2=-A2/B2 => k1=k2 => =

                             Т.е. при || и при ⊥ k1k2=-1, A1A2/B1B2=-1, A1A2+B1B2=0. Точка пересеч: A1x+B1y+C=0 и A2x+B2y+c=0 точка пересеч. = решению системы.

 

15. Прямая  и плоскость в пространстве.

Всякое уравнение  относительно координат x, y, z: Ax + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, кот. называется уравнением плоскости. Прямая в пространстве может быть задана: 1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x+B1y+C1 z+D1=0,  A2x+B2y+C2 z+D2=0; 2) двумя своими точками M1 (x1, y1, z1) и M2(x2, y2,z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:   ; 3) точкой M1 (x1,y1,z1),ей принадлежащей, и вектором a (m,n,р),ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: - канонические уравнения прямой.

 

16. Графическое решение системы линейных неравенств.

Чтобы  решить графически систему неравенств с  одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них  все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду и построить графики функций  y = f ( x ),  y = g ( x ) , ... Каждое из этих неравенств решается графическим методом (построить графики, найти нули функции, которые разделят ось  Х  на несколько  интервалов.  определим  интервалы  x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства). После этого  нужно  найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую  часть.

 

17. Множества  и операции над ними.

Множества – это совокупность элементов, объединённых по какому-либо общему признаку. Множесто А считается заданным, если для любого элемента а из множества А всегда можно определить, принадлежит элемент а этому множеству или нет. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х²+1=0 есть пустое множество. Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В С А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ .А, В, С – множества, аÎА; А=ía1…aný,  А=íх; х³0ý, АÌВ, А является подмножеством множества В, "-весь, всякий, каждый, $-существует, $!- существует и единственный, => -следует, <=>- тогда и только тогда, Æ- множество, которое не содержит ни одного элемента, " А: ÆÌА – для любого множества А любое пустое множество является подмножеством множества А.   АÈВ=С - объединение множеств; АÇВ=С - пересечение множеств; А/(наоборот линию)В=С - множество, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В; А х В={(а, в); аÎА} – множество упорядоченных пар вÎВ; А х В¹В хА.

 

18. Функция и связанные с ней понятия.

Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин  от других.Постоянной величиной наз-ся величина, сохраняющая одно и то же значение. Переменная величина – может принимать разные цифровые значения. Параметр-если величина сохраняет постоянное значение только в условиях данного процесса. Функция явная если она задана ур.y=f(x) в кот.1я часть не содержит зависимой переменной и неявной если F(x;y)=0 неразрешенн.относит.y. Y=x²+2 – явная, e^xy+x/y=0 – невная. График – множество точек (x;y) на плоскости, координаты кот.удовлетворяют данному уравнению. Функция построенная из осн.элементов ф-ии с помощью конечного числа образования сложн.функции наз-ся элементарной. Элементарн.функции делятся на алгебраические и трансцендентные.