Шпаргалка по "Математическому анализу"

интеграле.

 

§15. Замена переменной в определенном

интеграле.

 

28. Двойной  и тройной интегралы, их свойства.

 

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

3. , где k - константа;
4. Если   в области R, то  ;
5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;
6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  
   Здесь   означает объединение этих двух областей.

 

 

 

31.Производная по направлению. Градиент

Пусть в некоторой  области 

 задана функция   и точка  . Проведем из точки   вектор  , направляющие косинусы которого  . На векторе  , на расстоянии   от его начала рассмотрим точку  , т.е.  .

 
Будем предполагать, что функция   и ее частные производные первого порядка непрерывны в области  .

 
Предел отношения   при  называется производной от функции   в точке  по направлению вектора   и обозначается  , т.е.  .

 
Для нахождения производной от функции  в заданной точке  по направлению вектора   используют формулу:  , 
где   – направляющие косинусы вектора  , которые вычисляются по формулам: 
.

 
Пусть в каждой точке некоторой  области   задана функция  . 
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции   и обозначается   или   (читается «набла у»):  .

 
При этом говорят, что в области   определено векторное поле градиентов.

 
Для нахождения градиента функции   в заданной точке   используют формулу: 
. 

 

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора   имеет наибольшее значение, если направление вектора   совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно  .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору  , равна нулю.