Шпаргалка по дисциплине "Математика"

Билет 1.

Функции нескольких переменных.

                                     

1.Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0. 

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y2+4x2<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

 

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записываетсяw=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, аz=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x2-y2 является параболоид.

 

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.            

Билет 2.

Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого  >0 существует такое число  >0, что из условия  < , где  - расстояние между точками М и М0, следует  < .

Обозначается:

А  .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения  и  . Получим приращение   функции z=f(x,y). Если                        

,                                                                                   (1) 

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем  x0+ y+ -f(x0,y0) и положим x0+ x=x,y0+  ,то выражение(1) можно записать в виде                         

f(x,y)=f(x 0,y0),                                                                      (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов. 

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

График функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную в области D на

плоскости Oxy (эта область может быть, в частности, и всей плоскостью), и

систему прямоугольных декартовых координат Oxyz (рис.1). В каждой точке

(x, y) восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy, на котором отложим

отрезок, равный f( ) x, y .

Рис. 1 Рис. 2

Тогда мы получаем в пространстве точку P с координатами

( ) x, y,z = ( ) x, y, f(x, y) (Рис. 1).

Определение. Множество точек P, координаты которых

удовлетворяют уравнению z = f(x, y), называется графиком функции двух

переменных.

Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение z = f(x, y)

определяет в пространстве некоторую поверхность. Таким образом, график

функции двух переменных есть поверхность, которая проектируется на

плоскость Oxy в область определения функции. Каждый перпендикуляр к

плоскости Oxy пересекает поверхность z = f(x, y) не более чем в одной

точке.

Например, график функции 2 2 z = x + y есть параболоид вращения.

Замечание. Функцию трех и более переменных отобразить с помощью

графика в пространстве невозможно.

 График функции нескольких переменных

Пусть областью определения функции нескольких переменных   служит некоторая область   .

Графиком функции   называется подмножество   -мерного пространства   с координатами   , заданное уравнением   , то есть множество

(последняя координата   точки   , принадлежащей графику   , равна значению функции в точке   ).

Рис.7.7.

 
 
Изобразить график функции   переменных на чертеже можно лишь в случае   (мы не можем изобразить на бумаге пространство большей размерности) и, следовательно, лишь при   (что соответствует функциям одной вешественной переменной) или при   , то есть для функции двух переменных. В последнем случае, при   , график   обычно изображают в виде некоторой поверхности, расположенной над (или под) областью определения   , а область определения располагают в горизонтальной плоскости чертежа -- плоскости   . Вертикальная координатная ось тогда соответствует оси значений функции,   . Точки   , лежащие на графике, имеют тогда три координаты:   , причём   .

Билет 3.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Введем понятие D-окрестности точки М0 (Х0 , у0) на плоскости ОХу как круга радиуса D с центром в данной точке. Аналогично можно определить D-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса D с центром в точке М0 (Х0 , у0 , Z0). Для N-мерного пространства будем называть D-окрестностью точки М0 множество точекМ С координатами  , удовлетворяющими условию Координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в N-мерном пространстве. Число А называется Пределом функции нескольких переменных В точке М0, если Такое, что | F(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М0. Обозначения: Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М0, условно говоря, по любой траектории внутри D-окрестности точки М0. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых Повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности. Примеры. 1. Покажем, что функция  Не имеет предела при М, стремящемся к О(0,0). Действительно, если в качестве линии, по которой точка Мприближается к началу координат, выбрать прямую У = х, то на этой прямой Если же траекторией движения считать прямую У = 2Х, то Следовательно, предел в точке (0,0) не существует. 2. Найдем повторные пределы функции Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим: Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке (0,0) предела в обычном смысле). Замечание. Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно. Функция Называется Непрерывной в точке М0 Если Если ввести обозначения То это условие можно переписать в форме Внутренняя точка М0 Области определения функции Z = F (M) называется Точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняется условие Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве Линии ИлиПоверхности разрыва. Примеры. 1. Функция Z = X² + Y² непрерывна в любой точке плоскости ОХу. Действительно, Поэтому 2. Единственной точкой разрыва  функции Является точка (0,0). 3. Для функции Линией разрыва является прямая х + у = 0.

 

 

                            Билет 4. Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение  . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается   и определяется формулой  .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение  , то z получает частное приращение z поy, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  поx к приращению  при стремлении   к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:                                 

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x2e x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.            

4. Геометрическая интерпретация  частных              

 производных функции  двух переменных

 

Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const. L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При данном x на плоскости ХОУ возьмем точку М. На поверхности z=f(x,y) ей соответствует точка Р(x,y,z). Дадим переменному y приращение  Тогда функция z получит приращение   Отношение   равно тангенсу угла, образованного секущей RР с положительным направлением оси ОУ,

Итак, частная производная   численно равна тангенсу угла

наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const. 

Аналогично, частная производная   численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

2. I. Определение функции  нескольких переменных. Область  определения

При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями

двух и более независимых переменных. Например, температура тела в

данный момент времени t может изменяться от точки к точке, поэтому ее

значения будут определяться значениями четырех переменных x, y , z, t,

где x , y , z – координаты точки.

Определение 1. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых

одна от другой, переменных величин x и y из некоторой области их

изменения D соответствует определенное значение величины z, то мы

говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y ,

определенная в области D.

Символически функция двух переменных обозначается z = f(x, y);

z = z( ) x, y . Функция f двух переменных x и y может быть задана

аналитическим, табличным, графическим и другими способами.

Определение 2. Совокупность пар (x, y) значений x и y , при которых

определена функция z = f(x, y), называется областью определения или

областью существования этой функции.

Линию, которая ограничивает данную область, называют границей

области. Область определения функции z = f(x, y) есть некоторая

совокупность точек на плоскости. В частности, областью определения

функции z = f(x, y) может быть и вся плоскость. Точки области, не

принадлежащие границе области, называются внутренними точками области.

Область, которая состоит только из внутренних точек, называется открытой

или незамкнутой. Если же к открытой области присоединяются и точки

границы, то область называется замкнутой. Область называется

ограниченной, если существует такая константа C, что расстояние

произвольной точки M области от начала координат O меньше, чем C, т.е.

OM <C.

Определение функции двух переменных можно обобщить на случай

трех и более переменных.

Определение 3. Если каждой совокупности значений переменных 1 x ,

2 x , …, n x соответствует определенное  значение переменной ω, то будем 

называть ω функцией независимых переменных 1 x , 2 x , …, n x и писать

( ) n F x ,x ,...,x ω= 1 2 .

Аналогично, как и для функции двух переменных, можно говорить об

области определения функции трех, четырех и более переменных.

Так, для функции трех переменных областью определения является

некоторая совокупность троек чисел (x, y,z), а так как каждая тройка чисел

задает некоторую точку M(x, y,z) в системе координат Oxyz, то область

определения функции трех переменных есть некоторая совокупность точек  2

пространства. Область определения функции четырех или большего числа

переменных уже не допускает простой геометрической интерпретации.

 

Частные производные

Рассмотрим изменение функции При задании приращения только одному из ее аргументов – ХI , и назовем его  Частной производной функции По аргументу ХI называется Обозначения: Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции Одной переменной – хI. Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной. Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными. Примеры.