Решеточное строение циклических подгрупп

Содержание

Подгруппы……………………………………………..…….…………2

Циклические подгруппы…………………………………...….……….3

Циклические группы………………………………………..….………5

Применение основной теоремы теории делимости к циклическим подгруппам…………………………………………………………..….8

Примеры циклических групп…………………………………….…….9

Решетка циклических подгрупп на примере………………..………..15

Литература……………………………………………………...……….19

 

 

 

Подгруппы.

 

Подмножество А группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, определенной в группе G.

При проверке того, является ли подмножество A группы G подгруппой этой группы, достаточно проверить: 1) содержится ли в A произведение любых двух элементов из A; 2) содержит ли A вместе со всяким своим элементом и его обратный элемент. Действительно, из справедливости закона ассоциативности в группе G следует его справедливость для элементов из A, а принадлежность к A единицы группы G вытекает из 2) и 1).

Многие из групп, являются подгруппами других групп. Так, аддитивная группа четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, а последняя в свою очередь есть подгруппа аддитивной труппы рациональных чисел. Все эти группы, как и вообще аддитивные группы чисел, являются подгруппами аддитивной группы комплексных чисел. Мультипликативная группа положительных действительных чисел является подгруппой мультипликативной группы всех отличных от нуля действительных чисел. Знакопеременная группа n-й степени есть подгруппа симметрической группы этой же степени,

Подчеркнем, что содержащееся в определении подгруппы требование к подмножеству A группы G быть группой относительно групповой операции, определенной в группе G, является существенным. Так, мультипликативная группа положительных действительных чисел не является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел, хотя первое множество содержится, как подмножество, во втором.

Теорема. Если в группе G взяты подгруппы. А и В, то их пересечение, т. е. совокупность элементов, лежащих и в А, и в В, также будет подгруппой группы G.

Доказательство. Действительно, если в пересечении содержатся элементы х и у, то они лежат в подгруппе А, а поэтому к А принадлежит и произведение ху, и обратный элемент . По тем же соображениям элементы ху и принадлежат и к подгруппе В, а поэтому они входят и в .

Полученный результат справедлив, как легко видеть, не только для двух подгрупп, но и для любого числа подгрупп, конечного или даже бесконечного.

Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой этой группы; эта подгруппа, содержащаяся в любой другой подгруппе группы G, называется единичной подгруппой группы G. С другой стороны, сама группа G является одной из своих подгрупп.

 

Циклические подгруппы

 

Интересным примером подгрупп служат так называемые циклические подгруппы. Введем сначала понятие степени элемента а группы G. Если п — любое натуральное число, то произведение п элементов, равных элементу а, называется n-й степенью элемента а и обозначается через . Отрицательные степени элемента а можно определить или как элементы группы G, обратные положительным степеням этого элемента, или же как произведения нескольких множителей, равных элементу . В действительности эти определения совпадают,

 

 

Для доказательства достаточно взять произведение 2п множителей, из которых первые п равны а, а остальные равны , и произвести все сокращения. Элемент, равный как левой, так и правой части равенства (1), будет обозначаться через . Условимся, наконец, под нулевой степенью   элемента а понимать элемент 1.

Заметим, что если операция в группе G называется сложением, то вместо степеней элемента а следует говорить о кратных этого элемента и записывать их через ka.

Без труда проверяется, что в любой группе G для степеней любого элемента а при любых показателях т и n, положительных, отрицательных или нулевых, имеют место равенства

 

 

Обозначим через подмножество группы G, составленное из всех степеней элемента а; в него входит и сам элемент а, являющийся своей первой степенью. Подмножество будет подгруппой группы G: произведение элементов из {а} лежит в {а} ввиду (2), в {а} входит элемент 1, равный , и, наконец, вместе со всяким своим элементом содержит и его обратный элемент, так как из (3) следует равенство

 

 

 

Подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. Как показывает равенство (2), она всегда коммутативна, даже если сама группа G и некоммутативна.

Заметим, что нигде выше не утверждалось, что все степени элемента а являются различными элементами группы. Если это действительно так, то а называется элементом бесконечного порядка. Пусть, однако, среди степеней элемента а имеются равные, например, при ; это всегда имеет место в случае конечных групп, но может случиться, и в бесконечной группе. Если , то

,

т. е. существуют положительные степени элемента а, равные единице. Пусть n есть наименьшая положительная степень элемента а, равная единице, т. е.

 

если , то .

В этом случае говорят, что а есть элемент конечного порядка, а именно порядка п.

Если элемент а имеет конечный порядок n, то все элементы

 

будут, как легко видеть, различными. Всякая другая степень элемента а, положительная или отрицательная, равна одному из элементов (4). Действительно, если k — любое целое число, то, деля k на n, получим

 

а поэтому, ввиду (2) и (3),

 

Отсюда следует, что если элемент а имеет конечный порядок п и , то k должно нацело делиться на п. С другой стороны, так как

 

то для элемента а конечного порядка п

.

Так как система (4) содержит n элементов, то из полученных выше результатов вытекает, что для элемента а, имеющего конечный порядок, его порядок п совпадает с порядком (т. е. с числом элементов) циклической подгруппы

Заметим, наконец, что всякая группа обладает одним - единственным элементом первого порядка — это будет элемент 1. Циклическая подгруппа {1} совпадает, очевидно, с единичной подгруппой.

 

Циклические группы.

 

Группа G называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов а, т. е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп ; элемент а называется в этом случае образующим элементом группы О. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.

Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу 1, т. е. это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы взять также число —1.

Примером конечной циклической группы порядка п служит мультипликативная группа корней п-й степени из единицы, все эти корни являются степенями одного из них, а именно первообразного корня.

Следующая теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу все циклические группы:

Теорема: Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного порядка п.

  Доказательство. Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим элементом а отображается взаимно однозначно на аддитивную группу целых чисел, если всякому элементу этой группы ставится в соответствие число k; это отображение будет изоморфным, так как, по (2), при перемножении степеней элемента а показатели складываются. Если же дана конечная циклическая группа G порядка n с образующим элементом а, то обозначим через первообразный корень n-й степени из единицы и сопоставим всякому элементу группы G, , число . Это будет взаимно однозначное отображение группы G на мультипликативную группу корней п-й степени из 1, изоморфность которого следует из (2) и (5). Теорема доказана.

Эта теорема позволяет говорить просто о бесконечной циклической группе или о циклической группе порядка п.

Теорема. Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство. В самом деле, пусть есть циклическая группа с образующим элементом а, бесконечная или конечная, и пусть А будет подгруппа группы G. Можно считать, что А отлична от единичной подгруппы, так как иначе доказывать было бы нечего. Предположим, что есть наименьшая положительная степень элемента а, содержащаяся в А; такая степень существует, так как если в А содержится отличный от 1 элемент , то содержится и обратный ему элемент . Допустим, что в А содержится также элемент, причем не делится на k. Тогда, если d, d > 0, есть наибольший общий делитель чисел k и , то существуют такие целые числа и и v, что

 

а поэтому в подгруппе А должен содержаться элемент

 

но так как при наших предположениях d < k, то мы приходим в противоречие с выбором элемента ак. Этим доказано, что . Теорема доказано.

 

Условимся следующем обозначении. Если F произвольная группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF- подгруппа F поскольку Всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.

Теорема о подгруппах группы Z. Если H - подгруппа группы Z, то  , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство: Если H -тривиальная подгруппа, то теорема верна и . Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если  - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: , причем . Но тогда  и значит . Поэтому  , что и требовалось.

Замечание. Если - любое целое, то отображение 

 

определенное формулой  является изоморфизмом и отображает подгруппу  на подгруппу , а значит определяет изоморфизм

.

Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна .

Доказательство. Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна , где H- некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме , где . Если , G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если , Z  разбивается на n смежных классов: 

 

и потому фактор-группа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу  будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях,  - тривиальная группа.

Элементами конечной группы  по определению являются смежные классы:

 

которые обозначаются  и называются вычетами по модулю n , а операция в  - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы   Если H подгруппа группы , то   причем n делится на m нацело. Порядок H равен  , и значит .

Доказательство. Рассмотрим стандартный гомоморфизм .  - подгруппа Z и значит  для некоторого целого m. Отсюда следует, что . При этом  и потому где d - целое. По теореме о гомоморфизме

.

Что и требовалось доказать .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична.

 

Применение основной теоремы теории делимости к циклическим подгруппам.

Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теорема Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим. Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель Если и , то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся n и m. ( по определению. Числа, для которых называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости. Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что .

Доказательство. Поскольку числа n и m ненулевые, . Значит среди чисел вида есть положительные. Пусть - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что . Тогда и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит , где . В этом случае Это противоречит выбору числа s и значит, .

Следствие. Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же , то числа  и . взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем:  

,

откуда и следует сформулированный результат. Что и требовалось доказать.

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп. Пусть любое целое. Вычет  в группе  имеет порядок

Доказательство. Пусть Поскольку - целое число, имеем:   , откуда следует, что порядок   не превосходит . С другой стороны, если порядок  равен k, то   , то есть делится на . По основной теореме теории делимости и значит также делится на . Но если , то не может делиться на