Решение задач теории упругости с помощью специализированных систем компьютерной математики

а подстановка в уравнение (1.5) - выражение для радиального перемещения

 (1.8)

 

В формулах (1.7) и (1.8)

 

_{В частном случае, когда  на трубу действует  только внутреннее давление, т. е.}

выражения напряжений (1.7) принимают следующий вид:

    (1.9)

 

Из формул (1.7) видно, что

т. е. сумма радиального и окружного  напряжений в любой точке есть постоянная величина, не зависящая  от радиуса r.

По формулам (1.7) и (1.8) можно вычислить  напряжения и радиальные перемещения  для сплошного вала, подверженного  наружному радиальному давлению, если положить R_B = 0. В таком случае

 

откуда видно, что материал вала испытывает однородное напряженное состояние.

Заметим, что если вал, равномерно обжимаемый снаружи, не имеет внутреннего  отверстия, то в нём по всем направлениям возникают напряжения. Таким образом, для сплошного вала, подверженного  снаружи равномерному давлению, «булавочный  прокол увеличивает напряжение у  поверхности прокола вдвое» против случая отсутствия такого ослабления.

 

1.4 Задача Ламе о полой сфере. Аналитическое решение

Рассмотрим прежде всего основную задачу вычисления напряжений в толстостенной полой сфере (Рис. 1.2) при нагружении постоянным внутренним и внешним давлением. Здесь идет речь о полярно симметричном напряженно-деформированном состоянии; поэтому целесообразно применить сферические координаты R, ϑ, φ, где . В рассматриваемом случае имеется только радиальное перемещение u_R(R), все компоненты деформаций и напряжений, кроме ε_RR=du_R/dR, ε_tt=ε_φφ=u_R/R, а также σ_RR=σ_tt=σ_φφ, равны нулю.

Рис. 1.2

 

Для решения привлекается потенциал  деформаций Ламе в виде

      (2.1)

где

     

Из (2.1) следует

     (2.2)

и видно, что

.

С учётом (2.1) для компонент напряжений получаются выражения

    (2.3)

где T – направление произвольной касательной к сферической поверхности

R= const.

Наложением произвольного гидростатического  напряженного состояния σ_R=σ_T=B=const находим напряжения в радиальном и тангенциальном направлениях

          (2.4)

Они приводят к дополнительной деформации в радиальном направлении 

(1 – 2v)B/E, поэтому перемещения с учетом (2.2) будут равны

           (2.5)

Граничные условия имеют вид

и отсюда для произвольных постоянных находим

В результате компоненты напряжений будут определяться по формулам

     (2.6)

     (2.7)

а перемещение – по формуле

   (2.8)

Для частного случая только внутреннего  давления в полой сфере (p_b=0) справедливы равенства

   (2.9)

Максимальное окружное нормальное напряжение

появляется на внутренней поверхности.

Для тонкостенной полой сферы с  толщиной стенки h = b — a (средний радиус a ≈ b) элементарное рассмотрение условия равновесия приводит к известному результату σ_TT=p_aa/(2h) («котельная формула» в сопротивлении материалов).

В предельном случае b → ∞ из (2.9) для напряжений имеем

а перемещения будут равны

Напряжения  и перемещения затухают на бесконечности.

Решение для элементарной задачи о  концентрации напряжений в окресности пространственной сферической полости в бесконечно протяженной среде при всестороннем растяжении получается из (2.6) и (2.7) для p_a=0, p_b=-σ при b → ∞. Нормальные напряжения при этом равны

Видно, что для окружных нормальных напряжений на поверхности сферической  полости коэффициент концентрации напряжений равен 1,5, а соответствующее  перемещение выражается в виде

Глава II. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ОПИСАНИЕ ЕГО ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Существует достаточно много систем автоматического проектирования, основанных на методе конечно-элементного анализа.

Наиболее распространёнными являются:

• ANSYS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
• FEM Models — система конечно-элементного анализа, преимущественно для решения геотехнических задач;
• MSC.Nastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;
• ABAQUS — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
• DEFORM-2D/3D — система КЭ анализа для моделирования технологических процессов обработки давлением и резанием;
• Impact — универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;
• LS-DYNA — универсальная система нелинейного динамического КЭ анализа;
• NEiNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;
• NXNastran — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором FEMAP;
• SAMCEF — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field.
• Temper-3D — система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт).
• COMSOL Multiphysics — универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.
• Zebulon — универсальная система МКЭ анализа с расширенной библиотекой нелинейных моделей материалов.

Из всех вышеперечисленных приложений хотелось бы выделить ABAQUS и ANSYS. Данные системы стоят на ступень выше в плане своей разносторонности и обе имеют более чем тридцатилетнюю историю разработки. ABAQUS и ANSYS являются самыми распространёнными системами среди специалистов в области компьютерного инжиниринга. В настоящее время эти системы используется на таких известных предприятиях, как ABB, BMW, Boeing, Caterpillar, Daimler-Chrysler, Exxon, FIAT, Ford, БелАЗ, General Electric, Lockheed Martin, MeyerWerft, Mitsubishi, Siemens, Shell, Volkswagen-Audi. Во многом этим объясняется наличие у ABAQUS свободной от лицензии версии для обучения в высших учебных заведениях.

Исходя из всего вышесказанного, именно системы ABAQUS и ANSYS были выбраны для моделирования и расчётов в данной работе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1 ABAQUS

ABAQUS – программный комплекс для прочностного конечно-элементного анализа сложных линейных и нелинейных инженерных проблем. Семейство продуктов ABAQUS разрабатывается и поддерживается компанией ABAQUS, Inc. (USA) с 1978 года. C 2005 года ABAQUS, Inc. входит в компанию Dassault Systemes (разработчик известной CAD системы CATIA и систем управления жизненным циклом изделий PLM SmarTeam и Enovia). В качестве стратегии дальнейшего развития компанией ABAQUS было анонсировано создание универсальной среды моделирования SIMULIA, обобщающей не только решения компаний Dassault Systemes и ABAQUS в области компьютерного инжиниринга, но и объединяющей лучшие решения третьих фирм, и таким образом формирующего комплексный инструментарий для проектирования и междисциплинарного анализа технических систем.

Функциональные  возможности

  Модуль  ABAQUS/Standard  позволяет производить следующие типы анализа:

 Статический  анализ напряжений / перемещений 

 Вязкоупругий / вязкопластический отклик 

 Переходный  динамический анализ напряжений / перемещений 

 Переходной  или установившийся анализ теплопередачи 

 Переходной  или установившийся анализ диффузии  массы 

 Сопряженные  задачи:

-- Тепло  - механика (последовательное или  полностью сопряженное решение) 

-- Тепло  - электричество 

-- Поток  в пористой среде - механика 

-- Напряжения - диффузия массы (последовательно  сопряженное решение) 

-- Пьезоэлектрика (только линейная)

-- Контактный  анализ 

-- Акустика - вибрации (только линейная)

 Модуль  ABAQUS/Explicit позволяет производить следующие типы анализа:

 Кратковременные  динамические процессы и квазистатика

 Полностью  связанный анализ термопрочности

 Надежное  определение общего (автоматического)  контакта 

 Моделирование взрывного нагружения

  Программный конечно-элементный комплекс ABAQUS — это универсальная программа общего назначения для проведения многоцелевого инженерного прочностного анализа.

 ABAQUS позволяет рассчитывать сложное нелинейное напряженно-деформированное состояние строительных сооружений и оценивать их прочность и устойчивость с учетом многофакторного нагружения, в том числе сейсмического, теплового и взрывного. Сооружения могут моделироваться с учетом влияния предварительно нагруженной арматуры с одновременным расчетом оснований и сочетаний нагрузок, с контактными взаимодействиями и моделированием разрушений.

 К  преимуществам данного программного  комплекса относится также наличие  большого количества нелинейных  моделей материалов, в частности  материалов металлической арматуры, бетонов, грунтов, пористых материалов  и т.п., что позволяет эффективно  и с большой точностью решать  задачи, содержащие данные типы  материалов, с учетом их реологических  свойств. 

 Среди  решаемых с помощью ABAQUS задач следует отметить:

 расчет усталостной прочности  и долговечности конструкций  под воздействием произвольного  по времени нагружения с учетом пластичного состояния;

 оптимизацию конструкций к  изменению параметров — можно,  например, оптимизировать геометрию  конструкции по напряжениям, возникающим  в конструкции при заданных  нагрузках; 

 расчет  конструкций на статические, динамические, сейсмические и ветровые нагрузки, а также на сочетание комбинаций  нагрузок (многофакторность нагружения);

 расчет  трещинообразования и концентраторов  напряжений;

 задачи  по прогрессирующему разрушению.

 Отличительной  особенностью ABAQUS является возможность использования собственных подпрограмм, что позволяет создавать свои модели поведения различных материалов, конечные элементы и типы нагрузок.

  ABAQUS является надежным, качественным кодом с удобным интерфейсом. Наличие встроенного языка программирования PYTHON позволяет создавать собственные графические оболочки, адаптированные для решения конкретных типов задач.

  Программный комплекс ABAQUS представляет собой полностью параллельный код и может использоваться на всех вычислительных платформах, включая многоядерные вычислительные системы и кластеры.

  ABAQUS имеет коммерческую, исследовательскую и учебную версии. Для ознакомления со всеми возможностями ABAQUS можно использовать демо-версию ABAQUS Student Edition, свободно распространяемую компанией «ТЕСИС» вместе с методическим пособием на русском языке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 ANSYS

ANSYS - многофункциональный программный  комплекс конечно-элементных расчетов, существующий и развивающийся на протяжении последних 30 лет. ANSYS является довольно популярным у специалистов в области компьютерного инжиниринга (CAE, Computer-Aided Engineering) и конечно-элементного решения линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных пространственных задач механики деформируемого твёрдого тела и механики конструкций (включая нестационарные геометрически и физически нелинейные задачи контактного взаимодействия элементов конструкций), задач механики жидкости и газа, теплопередачи и теплообмена, электродинамики, акустики, а также механики связанных полей. ANSYS включает в себя модули расчетов прочности и динамики, температурных полей, гидрогазодинамики, электростатики/электромагнетизма, оптимизации, вероятностных расчетов, высоконелинейных расчетов.

Моделирование и анализ в некоторых  областях промышленности позволяет  избежать дорогостоящих и длительных циклов разработки типа «проектирование  — изготовление — испытания». Система  работает на основе геометрического ядра Parasolid

ANSYS разрабатывается американской  компанией ANSYS Inc.. Компания также выпустила другие системы КЭ моделирования, в том числе DesignSpace, AI Solutions (NASTRAN, ICEM CFD); предназначенные для использования в более специфических отраслях производства.

В качестве стратегического партнёра фирма сотрудничает со многими компаниями, помогая им провести необходимые  изменения. Предлагаемые фирмой ANSYS Inc. средства численного моделирования и анализа совместимы с некоторыми другими пакетами, работают на различных ОС. Программная система ANSYS сопрягается с известными CAD-системами Unigraphics, CATIA, Pro/ENGINEER, SolidEdge, SolidWorks, Autodesk Inventor и некоторыми другими.

 

Первая реализация программы значительно  отличалась от последних её версий и касалась только решения задач теплопередачи и прочности в линейной постановке. Как и большинство других программ того времени, она работала в пакетном режиме и лишь на супер-ЭВМ.

В начале 70-х годов XX века в систему было внесено много изменений в связи с внедрением новой вычислительной технологии и реализацией запросов пользователей. Были добавлены нелинейности различной природы, появилась возможность использовать метод подконструкций, была расширена библиотека конечных элементов. Компания обратила внимание на появившиеся в то время персональные компьютеры и векторные графические терминалы. В течение нескольких лет эти новые аппаратные средства были освоены программными разработками компании.