Решение уравнений и неравенств с параметрами

6.    Исследуем  влияние параметра на результат.

·      найдём абсциссы точек пересечения графиков.

·      зададим  прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -∞ до +∞

7.    Записываем  ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с  параметрами, с использованием системы  координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной  системы координат хОy.

3. Примеры

I. Для всех допустимых  значений параметра  а  решить  неравенство

Решение. 

В области определения  параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство  равносильно системе неравенств

Если  , то решения исходного неравенства заполняют отрезок   . 

Ответ:  ,   .

II. При каких значениях  параметра а имеет решение  система 

Решение.

Найдем корни трехчлена  левой части неравенства  – 

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость  аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса  2  с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы  будет пересечение заштрихован 

ной области с  окружностью, где   , а значения   и   находятся из системы

а значения   и   находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:   

                                                              Заключение 

     Во  время создания данного проекта  мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Графическое решение уравнений, неравенств и систем с параметром » и в какой-то мере получили новые.

     По  завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться  не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать  Единый Государственный Экзамен  и вступительные экзамены в ВУЗы. 

                          Литературный список.

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных  и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского  педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика  для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г..

Г. Корн и Т.Корн “Справочник  по математике”. Издательство “Наука”  физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и  Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.