Решение текстовых задач по математике единым алгоритмом

МБОУ «Пужмезьская основная общеобразовательная школа»

Кезский район, Удмуртская Республика.

 

 

 

 

Реферат по математике на тему

«Решение текстовых задач по математике единым алгоритмом»

 

 

 

Выполнили:

ученицы 8 класса

Белослудцева  Маргарита и

Никитина Наталья.

 

Учитель: Монастырская А.П.

 

 

 

д. Пужмезь 2012 г.

 

Решение текстовых  задач по математике единым алгоритмом.

      План:

1. Цель работы.
2. Исследование способов решения различных видов текстовых задач.
3. Выбор оптимального способа – создание алгоритма.
4. Приложение с практическим применением результата исследования.
5. Вывод.

В 5 классе наш  учитель математики спросила нас: «Хотите  знать рецепт, как научиться решать задачи?». Мы, разумеется, очень захотели узнать этот рецепт. И тогда учитель  ответила: «Решать как можно больше текстовых задач». Уже в пятом классе мы поняли, что задачи проще решать алгебраическим способом, то есть с помощью уравнений. А в этом году, учась в 8 классе и готовясь к ГИА по учебнику «Подготовка к ГИА – 2012» при изучении соответствующих тем программы 8 класса, мы задумались над тем, а нельзя ли как-то систематизировать предложенный объем текстовых задач и выработать единый алгоритм их решения.

Еще с начальной  школы мы знаем, что лучше решать задачи, видя текст перед собой  в виде краткой записи условия. Взяв за основу краткую запись, мы подошли к тому, что удобно делать ее в виде таблицы.

Проанализировав текстовые задачи к экзаменам, мы выделили следующие типы задач:

1. Задачи на движение.
2. Задачи на работу.
3. Задачи на проценты.
4. Задачи на покупки
5. Задачи с геометрическим содержанием.

На первый взгляд задачи на движение кажутся более  простыми. Видимо, это связано с  тем, что задачи на движение легко  интерпретировать с помощью рисунка. Но прорешав задачи 1, 2 и 4-ого типов, мы увидели, что они решаются по одной и той же схеме.

Движение:

V (скорость) ∙ t (время) = S (расстояние)

Работа:

р (производительность) ∙ t (время) = А (работа)

 

Покупка:

Цена ∙ Количество = Стоимость

То есть действия с выражениями аналогичные.

А  теперь можно  перейти к непосредственным примерам решения задач по алгоритму:       1. Прочитать весь текст задачи;

                          2. Определить ее тип, исходя из условия;

                          3. Составить таблицу;

                          4. Заполнить таблицу, читая каждое предложение условия задачи;

                          5. Найти в таблице место вопросу задачи.

№ 431(ГИА – 2012 под редакцией Ф.Ф.Лысенко) – задача первого типа.

Автобус ехал из пункта А до пункта В со скоростью 80 км/ч. Выехав обратно, он 30 км ехал со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Затем он увеличил скорость на 50 км/ч и доехал до пункта А, не меняя скорости. Найдите расстояние от пункта А до В, если на обратный путь водитель затратил на часа меньше.

 

Теперь рассмотрим задачу на работу – задачу второго типа.

№ 476. Две машинистки должны были напечатать по 60 страниц каждая. Вторая машинистка печатала за 1 час на 2 страницы меньше, поэтому закончила работу на 1 час позже. Сколько страниц в час печатала первая машинистка?

Следующая задача на покупку – задача четвертого типа.

№ 497. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 200 рублей. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает  на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено  182 рубля. Сколько стоит килограмм каждого продукта?

Перейдем к  задачам на проценты – задачи третьего типа.

№ 502. Имеется 300 г. 20% раствора  серной кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 16% раствор серной кислоты?

Как можно таким  стандартным способом с помощью  таблицы решить нестандартную (олимпиадную) задачу?

Задача: в огурцах 99 % воды. Через некоторое время часть воды испарилась и ее стало 98%. На сколько процентов уменьшилась масса огурцов?

И еще одна задача на совместную работу, довольно часто  встречающаяся  в сборнике под  редакцией  Ф.Ф. Лысенко.

Вариант 8 задача № 20

Грузчики Петр и Владимир вместе могут перенести 22 ящика с  гвоздями со склада в торговый зал  за 40 минут, Михаил и Петр могут перенести 30 таких же ящиков за 50 минут, а Владимир и Михаил – 41 ящик за час. За сколько  минут Петр, Владимир и Михаил перенесут 22 ящика, работая втроем?

А так же такая  задача на проценты – задача  третьего вида.

№ 520. Кондитерская производит два вида шоколада с содержанием какао-бобов 25% (молочный)  и 70% (горький). В каком отношении надо смешать молочный и горький шоколад, чтобы получился шоколад, содержащий 45% какао-бобов?

                   Шоколад                   %  =  дробь               какао

I                    х(кг)                       25%  =  0,25             0,252 ∙ х (кг)

II                  у(кг)                       70%  =  0,7               0,7 у    (кг)

                 (х  +  у) кг                 45%  =  0,45            0,45 (х + у) кг

               Уравнение:         0,25х  +  0,7у  =  0,45 (х + у)

                                          0,25х +  0,7у =  0,45х +  0,45у

                                         0,7у  – 0,45у = 0,45х – 0,25х

                                         0,25у = 0,20х

                                  

                                                       Ответ:  5 к 4.

Так как с 2012 года итоговая аттестация по математике претерпела изменения в том плане, что в контрольно- измерительные  материалы введен0 пять заданий из 23 по геометрии, необходимость текстовых задач по алгебре с геометрическим содержанием отпала. Поэтому задачи пятого вида мы из исследовательской работы исключили. Геометрические задания по ГИА мы решили исследовать в будущем учебном году, так как в сборнике ГИА этого года мы увидели, что много задач на тему «Площади», а это программный материал 9 класса.

Поработав  с  задачами  третьего типа из сборника « Подготовка  к ГИА – 2012» , мы подумали, а не сможем ли мы таким  алгоритмом справиться с задачами из сборника «Подготовка к ЕГЭ», с помощью учителя нашли вот такую задачу из пробного экзамена по математике в 11 классе и довольно легко решили ее.

Задача (11кл.) Смешали 42кг и 6кг кислотных растворов разного процентного содержания, получили 40% раствор. Если же смешать равные массы растворов, то получится 50%раствор, Найти массу вещества в первом растворе.

Решение: 

Раствор          % = дробь        Вещество

1   42кг.         х% = 0,01х          0,42х  (кг)

2.   6кг           у% = 0,01у           0,06у (кг)   

+    48кг       40% = 0,4              19,2 кг

Итак, получили уравнение 0,42х  + 0,06у = 19,2 

Раствор      % = дробь      Вещество

1.      1кг              0.01х        0,01х (кг)

2.      1кг              0,01у        0,01у (кг)

+       2кг       50%=0,5         1кг

Получаем второе уравнение 0,01х + 0,01у = 1

Решив систему двух уравнений (в нашем случае достаточно найти только х) отвечаем 0,42х =15,4(кг).                                                            

Ответ: 15,4кг                      

Поставив себе цель – найти универсальный способ решения задач с помощью нами созданного алгоритма, мы попробовали порешать различные задачи и составили ниже выложенное ПРИЛОЖЕНИЕ к работе. 

Задача: Четыре класса должны покрасить забор вокруг школы. Классы Б.В.Г могут выполнить эту работу за 3часа. Классы А, В, Г могут выполнить эту работу за 2часа. Если же будут работать классы А и Б, то работа будет выполнена за 5часов. За какое время могут покрасить забор все четыре класса? 

Решение:       p (производительность)        t (время)    А (работа) 

Б + В + Г          р(б) + р(в) + р(г) = 1/3           3ч.               1 

А + В + Г          р(а) + р(в) + р(г) = 1/2           2ч.               1 

А + Б                 р(а) + р(б)  = 1/5                     5ч.              1

А + Б + В + Г                                                     ?ч.               1 

 

Прибавим все р, получим: 

2р(а) + 2р(б) + 2р(в) + 2р(г)  =  

2(р(а) + р(б) + р(в) + р(г)) =   

(р(а) + р(б) + р(в) + р(г) =     

Тогда время t =                                

Ответ:                       

Задача:  За месяц до экзаменов 75% выпускников уже определились, какие экзамены по выбору они будут сдавать. При этом 60% из них решили сдавать геометрию. Сколько процентов из неопределившихся должны выбрать геометрию, чтобы по крайней мере половина учащихся сдавала этот экзамен?

 
 
Всего                      100%             х(уч) 
Определились         75%       0,75х(уч) 
Геометрия              60%         0,6.0,75х = 0,45х(уч) 
Не определились    25%        0,25х(уч) 
Из них геометрия   у%     0,01у ∙ 0,25х = 0,0025ху(уч) 
Уравнение:     0,45х + 0,0025ху = 0,5х 
0,0025ху = 0,05х 
у =  
у = 0,20 = 20% 
Ответ: 20%.

 

 

 Задача:   В лаборатории имеется 2кг раствора, содержащего 28% некоторой кислоты, и 4кг раствора, содержащего 36% этой же кислоты. Найдите наибольшее количество 30%-го  раствора кислоты, который можно получить из этих растворов. 

 

Решение: Сначала найдем, в каком отношении надо взять  данные растворы по алгоритму, ранее  используемому при решении таких  задач.

1.   х(кг)     28% = 0,28      0,28х(кг)

2.   у(кг)     36% = 0,36      0,36у(кг)  

(х + у)кг    30% = 0,3        0,3(х + у)кг

Получаем уравнение:

0,28х + 0,36у = 0,3х + 0,3у

0,36у – 0,3у  = 0,3х – 0,28х    

0,06у = 0,02х          

6у = 2х         

3у = х         

 х/у =3/1 , то есть данные растворы надо взять в отношении  3 к 1. 

Теперь ответим на вопрос задачи.

1     2кг          3 части

2.     zкг          1часть     

2 :  z  =  3  :  1         

3z  = 2          

z  = 2/3(кг)      

2кг + 2/3 кг = кг      и это ответ на вопрос. 

 

Задача: Вода из горячего крана заполняет ванну за 23 минуты из холодного за 17 минут. Вначале открыли горячую воду. Через сколько минут надо открыть холодную воду, чтобы при полном заполнении ванны в ней горячей воды оказалось в полтора раза больше?

Решение:            р                 t              А 

 

 

 Горячая вода                23мин.      1 

холодная вода              17мин.      1 

Пусть    х(мин) работает кран горячей воды,               

 у(мин)  работает кран холодной  

Уравнение:

Из второго  условия   

Решив систему  уравнений, получим   

х = 13,8(мин);  у = 6,8(мин) 

х – у = 13,8 - 6,8 = 7(мин)               Ответ:  7 минут.                                      

 

Задача: Семья Ивановых ежемесячно платит за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась  бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%.  Какой процент от общей суммы платежа приходится на коммунальные услуги, телефон и электричество? 

 

Решение: 

Комм. усл.  х%     150% = 1,5     1,5х 

Телефон     у%                                 у

Электр.       z%                                 z             

(x + у + z)%  135% = 1,35    1,35 (х + у + z) 

 

 

                    х%                                 х                   

 у%                                 у                   

z%        150%=1,5       1,5z           

(х + у + z)         110% = 1,1      1,1(х + у + z) 

 

 

 Решаем систему уравнений:  

х + у + z = 100

1,5х + у + z = 1,35(х + у + z) 

х + у + 1,5z = 1,1(х + у + z) 

 

 

 После элементарных преобразований уравнений находим 

х = 70% ;  у = 10%  ;   z = 20%   и это ответ на вопрос задачи.                        

  

Задача: В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных - 20%.

На сколько  процентов уменьшается масса  яблок при сушке?

Решение: 

Свежие   х (кг)    100 – 80 = 20(%) = 0,2     0,2х (кг) 

Сушен.   у (кг)    100 – 20 = 80(%) = 0,8     0,8у (кг)                          

                 

 Уравнение:     0,2х = 0,8у                                         

 у : х =0 ,2 : 0,8                                         

 у : х = 0,25                                          

у : х = 25 : 100                                         

 у = 25%;    х = 100%                                           

100 – 25 = 75(%)                                                          

 Ответ:   на 75%     

 

 

 Задача: Цену первого товара подняли на 30%, потом еще на 5%.

Цену второго  товара повысили на 25%. После этого  цены сравнялись. На сколько процентов  отличались первоначальные цены? 

 

 

  Первонач. цена        % = дробь        Новая цена

1.     х(р.)                  130% = 1,3          1,3 х (р.)    

1,3х(р.)                  105% = 1,05        1,05 ∙ 1,3х(р) 

 

2.     у(р.)                    125% = 1,25       1,25 у(р.)       

       

Уравнение 1,05 ∙ 1,3х = 1,25 у                             

1,365х = 1,25у