Решение прикладных задач с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений

ГОУВПО  «Воронежский государственный технический  университет»

 

 

Факультет автоматики и электромеханики

 

Кафедра «Автоматизированные  и вычислительные системы»

Специальность «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

 

«РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ

ОБЫКНОВЕННЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

 

 

                                                                  Выполнил:  студент гр.

                                                                           

                                                                  Проверила:   преподаватель                                 

                                                                                     

 

Дата защиты ________ Оценка ____________

 

 

Воронеж 2010

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение ……………………………………………....................................2                                                                                                

2. Основные понятия и определения …………………………………………4

3. Числовая часть……………………………………………………………….8

4. Практическая  часть …………………………………………………………15

5. Заключение  …………………………………………………………………17

6. Библиографический  список ………………………………………………. 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

   Дифференциальное  уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение – это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперёд заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Понятно, что дифференциальные модели – это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей. В данной работе будут рассматриваться лишь модели, описываемые так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, одной из характерных особенностей которых является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной.

     Математическое моделирование включает следующие этапы:

     1. Формулировка задачи реального  мира в математических терминах; это и  есть построение математической модели.

     2. Анализ и решение полученной  математической задачи.

     3. Интерпретация математических результатов  в контексте первоначальной задачи реального мира, получение ответа на ранее поставленный вопрос.

     Математическая  модель состоит из списка переменных, которые описывают данную ситуацию, а также одного или нескольких уравнений, связывающих эти переменные, причем эти уравнения должны быть известны или принимаются как выполняющиеся в рамках данной модели. Математический анализ состоит из решения этих уравнений. Наконец, мы применяем полученные математические результаты, чтобы попытаться ответить на первоначально заданный вопрос о реальном мире.

Процесс математического  моделирования можно изобразить схематично:

Реальный мир -> Формулировка-> Математическая модель->

Анализ->Результаты->Интерпретация->Реальный мир

    В  процессе построения обыкновенных  дифференциальных моделей (да  и не только их) важное, а подчас  и первенствующее значение имеет  знание той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д.

     Конечно,  на практике приходится иметь дело с такими случаями, когда неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальное уравнение, и поэтому необходимо прибегать к различным предположениям (гипотезам), касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров – переменных. К дифференциальному уравнению тогда приводит предельный переход. При этом, если окажется, что результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуются с опытными данными, то это и будет означать, что высказанная гипотеза правильно отражает истинное положение вещей.

      Таким образом, становится очевидной  необходимость в приёмах и  методах, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, всё же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Так вот, такие приёмы и методы существуют, и они и составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которой лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости от начальных данных и параметров.

Основные  понятия и определения

      При рассмотрении всевозможных физических явлений часто не удаётся непосредственно найти зависимость между величинами, характеризующими эволюционный, т.е. изменяющийся во времени процесс. Аналогичные трудности могут возникнуть и в ситуациях, когда в качестве независимого переменного выступает одна из координат точки или иная переменная величина. Однако во многих случаях можно установить связь между искомыми характеристиками изучаемого явления (функциями) и скоростями их изменения относительно других переменных, т.е. найти уравнения, в которые входят производные неизвестных функций. Такие уравнения называют дифференциальными. 

       Если  неизвестные функции зависят  от одного независимого переменного (аргумента), то говорят об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ), иначе – о дифференциальных уравнениях с частными производными. Далее будут рассматриваться (в основном) свойства и методы решения ОДУ.

        Обозначив  независимое переменное, производная по которому от искомой функции входит в состав ОДУ, через t, а эту искомую скалярную функцию через x(t), запишем ОДУ в виде

                                               F .                                 (1.1)

Порядок n N старшей производной в (1.1) называют порядком дифференциального уравнения. Таким образом,  (1.1)  является обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.

         Определение 1.1. Решением обыкновенного дифференциального уравнения (1.1) в некотором промежутке времени   числовой прямой R называют  n  раз непрерывно дифференцируемую в этом промежутке функцию x(t), удовлетворяющую при любом этому уравнению.

     Если в (1.1) n = 1, то имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . Во многих случаях его удаётся записать в виде 

                                                                                                         (1.2)

Тогда его называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. При n > 1 получаем обыкновенное дифференциальное уравнение высшего порядка.

         В (1.1) и (1.2) входит одна искомая функция x(t). В теории ОДУ рассматривают такие же системы уравнений, которые состоят из  n  обыкновенных дифференциальных уравнений и такого же числа искомых функций. Если система ОДУ первого порядка разрешена относительно производных:

                              ,                   (1.3)

то её называют нормальной системой ОДУ. В этом случае число n уравнений, входящих в (1.3), называют порядком нормальной системы ОДУ. Если первые части (1.3) не зависят явно от , то имеем автономную нормальную систему ОДУ.

       Рассматривая      )   как координатные функции, введём вектор-функцию скалярного аргумента . Аналогично, считая ,   ,

координатными функциями  векторной функции, представим её в  виде . Тогда (1.3) можно записать в векторной форме

                                                       .                                                  (1.4)

       Определение 1.2. Решением нормальной системы (1.4) ОДУ в некотором промежутке     называют вектор-функцию x(t), определённую и непрерывно дифференцируемую в этом промежутке и при любом     удовлетворяющую этой системе.

     Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка

                                   ,                                      (1.5)

разрешённое относительно старшей производной, можно свести к нормальной системе. Действительно, обозначив , получим , и (1.5) примет вид

                                 ;

                                           …………………….                                       (1.6)                                   

                                               ;

      Процесс нахождения решения ОДУ обычно называют интегрированием дифференциального уравнения. Если решение ОДУ можно получить при помощи конечного числа операций интегрирования и дифференцирования и выразить через элементарные функции, то иногда говорят, что решение дифференциального уравнения получено (или выражено) в квадратурах.

         Следует отметить, что ОДУ имеют обычно бесконечное множество решений. Например, нетрудно проверить подстановкой, что при любом значении постоянного числа a функция является решением ОДУ первого порядка   .

 

Теоремы существования и единственности.

                                                 

                                            (1.61)

Теорема существования. Если в уравнении (1.61) функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости (x,y),

  то для любой точки существует решение начальной задачи¹

                                  

, ,                                     (1.62)

определённое  на некотором интервале, содержащем точку  .

 

 Теорема существования и единственности. Если в уравнении (1.61) функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости , причём она удовлетворяет в области условию Липшица по переменной , т.е.

,

где - положительная постоянная, то для любой точки существует единственное решение начальной задачи (1.62), определённое на некотором интервале, содержащем точку  .

     Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (1.61) с начальными данными может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области . При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.

Геометрическая  интерпретация решения ОДУ.

Поле направлений.

Всякое решение ,       ( )  нормальной системы (1.3) ОДУ в интервале Т можно интерпретировать геометрически как кривую Г с координатным представлением

в (n + 1)-мерном пространстве , точки которого имеют координаты . Это пространство называют расширенным фазовым пространством, а кривую Г – интегральной кривой. Фазовым пространством называют n-мерное пространство с координатами    точек ( , а проекцию на него интегральной кривой – фазовой траекторией (рис 1).

Эта траектория является годографом вектор-функции . Координаты точек ( иногда называют фазовыми переменными. В частном случае   фазовым пространством будет фазовая плоскость, а фазовой траекторией – плоская кривая. В каждой точке некоторой области расширенного фазового пространства система (1.3) определяет направление, характеризуемое вектором . Первая составляющая этого вектора равна единице, поскольку для первой координаты t точки     расширенного фазового пространства . Построив в каждой точке вектор  s получим в области D множество векторов, называемое векторным полем. В каждой точке     вектор s задаёт направление касательной к проходящей через эту точку интегральной кривой системы (1.3), множество которых называют полем направлений.

    Интегрирование системы (1.3) ОДУ можно рассматривать как процесс нахождения кривых, у которых в каждой точке направление касательной совпадает с направлением вектора  s   (см. рис. 1).