Решение методом Лагранжа уравнений третьей и четвертой степени

Московский педагогический государственный университет

Кафедра алгебры

Курсовая работа

По теме: «Решение методом Лагранжа уравнений третьей и четвертой  степени»

Выполнила: студентка 3 курса 3 группы Молчанова Ю.В.

Руководитель: доцент Шеина Г.В.

2012

Содержание

§1. История развития науки о решении алгебраических уравнений

§2. Решение кубических уравнений методом Лагранжа

§3. Решение уравнений четвертой степени  методом Лагранжа

§4. Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1. История развития науки о решении алгебраических уравнений

 

В XVI веке подряд были открыты формулы для решения уравнений 3 и 4 степеней, а потом два века не удавалось найти формулу для уравнения 5 степени. Все чувствовали, что хорошо бы вместо того, чтобы искусственно получать формулу для каждой степени, как это было фактически, найти единый прием, который годится для всех степеней. Математики разных рангов  атаковали проблему, однако неудача следовала за неудачей. К XVIII веку прежний энтузиазм в поисках магических формул несколько истощился. Все же убежденность в разрешимости всех алгебраических уравнений в радикалах не была еще поколеблена предшествующими неудачами.

Новая страница в этой затянувшейся на два с лишним века истории открывается с выходом в свет  в 1770 году обширного мемуара «Размышления об алгебраическом решении уравнений». Автором его был замечательный французский математик Жозеф Луи Лагранж. Исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Решение кубических уравнений методом Лагранжа

Пусть − все корни уравнения .

Формулы Виета¹ для него записываются следующим образом:

Лагранж предложил следующий метод  нахождения корней уравнения .

Формулы Виета для данного уравнения  выглядят:

Отсюда видно, что сумма равна нулю (так как она отличается от коэффициента при исходного уравнения лишь знаком).

Заметим, что число  является корнем третьей степени из единицы. Обозначим это число символом , тогда и .

, тогда   .

Напишем еще две суммы:

 и  .

Заметим, что, циклически переставляя  переменные в них ( , , ), получим пропорциональные им выражения:

 и  и т.д.

Кроме того, меняя местами пару переменных одной из сумм в и , получим выражение, пропорциональное другой сумме:

, и т.д.

При указанных  заменах переменных коэффициенты пропорциональности всегда есть корни третьей степени из единицы, так что при возведении в куб они равны единице. Поэтому выражение не меняется при перестановках переменных.

Отметим, что коэффициенты пропорциональности у выражений  и при одной и той же перестановки переменных взаимно обратны. Поэтому выражение так же не меняется при заменах переменных.

Выразим их через коэффициенты  a и b. Прежде всего заметим, что

.

Кроме того, поскольку  , то  .

В силу того, что  , имеем

.

 

Поэтому  .

Однако  - корень исходного уравнения, значит, , откуда .

Поэтому в результате получаем, что 

 

Полученная система легко решается относительно неизвестных и . Действительно, , поэтому , значит, , где , или , где .

Выразим из и , последовательно исключая неизвестные из системы:

Складывая все три уравнения с учетом равенства и сокращая тройку, находим .

Аналогично, умножая второе уравнение  на ,третье на и складывая их с первым, после сокращения на три находим .

А умножая второе уравнение на  ,третье на и складывая их с первым, имеем .

В результате мы получили формулы Кардано² с точностью до порядка следования  .

 

 

Теорема

 Все вещественные корни уравнения при вещественных A и B находятся среди трех чисел: ; ; , где − произвольное из значений корня , а .

Причем если , то ровно одно из них вещественно, если , то все три числа вещественны.

 

Из этих формул вытекает выражение 

Определение

Пусть имеется кубическое уравнение , −его корни. Дискриминантом кубического уравнения называется число .

 

Нетрудно видеть, что справедливо следующее утверждение.

 

Утверждение

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда имеются кратные корни.

 

Для приведенного уравнения имеем .

 Перейдем к соответствующему  неполному кубическому уравнению  с помощью подстановки  и получим уравнение , корнями которого являются  числа , , и дискриминант которого  равен дискриминанту полного уравнения: .

Представим симметрический полином   в виде полинома от элементарных симметрических полиномов 

4,2,0
4,1,1
3,3,0
3,2,1
2,2,2

 

Представим полином     в виде полинома от элементарных симметрических полиномов  с неопределенными коэффициентами .

Учитывая, что  , , ,

мы можем не находить коэффициенты .

							Уравнение
1	-1	0	0	-1	0	4
-2	1	1	0	-3	-2	0

Тогда

 

 

 

Поэтому .

 

 

Вообще, дискриминантом приведенного уравнения n-ой степени называют симметрический многочлен от корней этого уравнения .

Примеры

1. Решить приведенное уравнение третьей степени в случае нулевого дискриминанта.

 

, следовательно, кубическое уравнение  имеет один простой и один  двукратный корень.

Корни данного уравнения находятся  по следующим формулам:

, где  .

Отсюда получаем:

, где  .

 

2. Решить кубическое уравнение .

Применим схему Горнера³ для привидения к неполному уравнению. Для этого необходимо использовать следующую подстановку : , где .

	1	12	66	117
-4	1	8	34	-19
-4	1	4	18
-4	1	0
-4	1

Неполное уравнение имеет вид: .

Видно, что  .

Найдем  дискриминант данного уравнения: .

, .

По  формулам Кардано находим :

;

;

.

Откуда  ; ; .

Ответ:  ;

;

.

 

 

§3. Решение уравнений четвертой степени методом Лагранжа

 

Рассмотрим выражение  , где - корень 4-й степени из 1, а - корни уравнения , то есть .

Очевидно, что выражение  при различных перестановках корней принимает 24 значения ( в группе в общей сложности подстановки).

Однако, заметим, что некоторые  перестановки дают выражения, пропорциональные , причем коэффициенты пропорциональности являются корнями четвертой степени из 1.

Это происходит при циклической перестановке и, следовательно, еще при двух перестановках, являющихся ее степенями, а именно при перестановках (перестановка уже является тождественной). Можно это проверить и непосредственно, например, заметив, что перестановка : меняет местами переменные и , а так же переменные и , и выражение при этом меняет знак на противоположный.

Заметим, что при этих перестановках  выражение  вообще не меняется.

При всех 24 перестановках выражение принимает ровно значений:

; ;

; ;

; .

Эти значения являются корнями уравнения шестой степени, коэффициенты которого полиномиально выражаются через коэффициенты исходного уравнения. Получившееся уравнение шестой степени можно разложить на два кубических. Однако этот способ требует слишком много вычислений.

Найдем более удобные выражения, чем  .Для этого рассмотрим подробнее метод разложения на два множителя, примененный Феррари.

Его идея состоит в том, чтобы  представить левую часть уравнения  в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для этого левую часть представим в виде ,где - вспомогательная неизвестная, которую подберем так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена.

Для этого необходимо и достаточно выполнение условия  .

Это условие есть кубическое уравнение  относительно . Оно называется резольвентой Феррари.

После раскрытия скобок уравнение  преобразуется к виду .

Пусть -один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место при некоторых и . Исходное уравнение примет вид , или .

Приравняв к нулю каждый из сомножителей, находим четыре корня исходного уравнения.

Пусть и -корни первого сомножителя, и - корни второго. Тогда , . Сложив эти равенства, получим, что . Таким образом, мы получили выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Другими корнями кубического уравнения  будут  , .

Таким образом, мы нашли такое выражение  от корней , что при их всевозможных перестановках получается только два новых выражения. Поэтому эти выражения являются корнями уравнения третьей степени, коэффициенты которого полиномиально выражаются через коэффициенты исходного уравнения четвертой степени.

Данный результат можно было получить и двигаясь от этих выражений  к уравнению третьей степени.

Действительно, согласно теореме Виета для уравнения .

Аналогично 

и так же Значит, , , - корни уравнения .

После решения этого уравнения остается справиться с системой

 

 

 

 

Рассмотрим еще один метод решения  уравнения 4-й степени  .

Возьмем другое выражение от корней , которое тоже принимает при переставлении корней всего 3 значения: , , .

Найдем кубическое уравнение с  корнями  . Другими словами, выразим его коэффициенты , , через коэффициенты :

,

,

.

Используя теорему Виета, имеем  .

Найдя из этого уравнения  , можно определить корни . Для этого используем равенство , из которого следует, что ,

, .

Значит,

;  ;

;  ;

;  .

Отсюда можно выразить .

Дискриминант найденного выше кубического  уравнения равен дискриминанту  уравнения 4-й степени для  . В самом деле,

;

;

.

Примеры

1. Выразить дискриминант D через коэффициенты для общего уравнения четвертой степени.

 
Дискриминант кубического уравнения  =0 равен дискриминанту уравнения четвертой степени  .Подставим коэффициенты кубического уравнения в формулу для дискриминанта , где

7

 

Уравнение задает в координатах замечательную поверхность –» ласточкин хвост»⁴.

 

2. Решить биквадратное уравнение.

Алгебраическое уравнение четвертой степени ,

где – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).