Разбор методов системы нелинейных уравнений

РАЗБОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕИЙ. 
 
Основная цель при решении систем линейных уравнений - решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:  
 
1) графический способ; 
 
2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания; 
 
3) способ почленного умножения и деления; 
 
4) способ подстановки. 
 
Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия. 
 
Рассмотрим способ № 1: Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой. 
 
^ Случай 1: Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются.  
 
Решим эту систему: 
 
   
 
Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7). 
 
^ Случай 2: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны.  
 
Решим систему уравнений: 
 
   
 
Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений. 
 
^ Случай 3: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают. 
 
   
 
Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х - произвольное число, а у = - 2,5х - 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений. 
 
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин: 
 
1) не умение, выражать одну переменную через другую; 
 
2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс). 
 
Рассмотрим способ № 2( замена переменной): Легче всего это сделать решив задачу, что мы сейчас и сделаем: 
 
Условие задачи: Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик? 
 
Решение: Пусть х - первое число, у - второе число. По условию задачи составим систему уравнений. 
 
 
 
В первом уравнении выразим х через у: х=у+5. 
 
Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему 
 
 
 
Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной. 
 
Решим его: 
 
 
 
Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим: 
 
 
 
Ответ: ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы. 
 
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин: 
 
1) не умение, выражать одну переменную через другую; 
 
2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). 
 
Рассмотрим способ № 2( алгебраическое сложение): Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. 
 
Решим систему уравнений: 
 
 
 
В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами ( +3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной: 
 
 
 
Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему: 
 
 
 
Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему:  
 
Из уравнения ^ 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12, получим уравнение с переменной у. 
 
Решим это уравнение: 
 
   
 
Пара чисел (11; - 9) - решение полученной системы, а значит, и данной нам системы. 
 
Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. 
 
Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4x + 3y = 12 и -2x - - 3у=38 пересекаются. 
 
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине: 
 
1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). 
 
Рассмотрим способ № 3: Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере. 
 
 
Решим систему уравнений: 
 
 
 
Домножим верхнее уравнение на 3. Получим: 
 
 
 
Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными занками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе ( см. 3 разбор). 
 
В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы. 
 
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине: 
 
1) не видят, что и на сколько надо домножить; 
 
2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). 
 
Рассмотрим способ подстановки:

  Этот метод или способ решения  систем уравнений используется  чаще всех. Грубо говоря, этот  способ мы разобрали во всех  остальных, т.к. заменяя одну  систему на равносильную ей, мы  находим одну переменную, а затем  подставляем её значение в  одно из уравнений данной нам  системы. А следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов: 
 
1) не умения, выражать одну переменную через другую; 
 
2) не умение, подставить уже полученную переменную; 
 
Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод: 
 
во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам: 
 
1) не умения, выражать одну переменную через другую; 
 
2) не умение, подставить уже полученную переменную; 
 
3) не видят, что и на сколько надо домножить. 
 
. Для каждого метода будет представлено по примера и решение одного из них, в качестве примера как их решать тем или иным методом. 
 
1) Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания: 
 
Для начала метод алгебраического сложения. 
 
Пример №1: 
 
 
 
Решение: 
 
Можно заметить, что в двум уравнениях присутствует одна и та же переменная: 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему: 
 
  
 
Итак, мы нашли значение первой переменной: x = 1. теперь подставляем это значение в любую из уравнений, чтобы найти значение второй переменной: 
 
 
 
Получили: y = 0. 
 
Ответ: (1; 0).  
 
Метод алгебраического вычитания почти такой же как и метод алгебраического сложения, только вместо того, чтоб складывать уравнения, мы вычитаем одно из другого. 
 
Теперь разберём последовательность решения методом замены переменной: 
 
Пример №2: 
 
 
 
^ Решение: 
 
 
 
Объяснение: 
 
Вначале я перенёс одну переменную из уравнения 1 вправо и получил: x = 1 –y. Затем, я подтсавил полученное значение во второе уравнение и нашёл значение переменной y: y = 0. после этого. Я подставил это значение во второе уравнение и получил значение переменной x: x = 1. 
 
^ Ответ: (1, 0). 
 
Теперь потренируйтесь самостоятельно. 
 
Пример №3 (метод алгебраического сложения): 
 
 
 
У вас должен получиться ответ: (2; -0,(3) ). 
 
Пример №4 (метод замены переменной): 
 
 
 
Правильный ответ: (7; 1). 
 
2) Метод почленного умножения и деления: 
 
Пример№1: 
 
 
 
Решение: 
 
Домножим первое уравнение на два и получим: 
 
 
 
Теперь вычтем из первого уравнения второе (включаем в решение метод алгебраического вычитания). Затем решаем всё как и в прошлых примерах: находим значение одной переменной, затем второй и пишем ответ. 
 
Ответ: (1; 1). 
 
Метод почленного деления очень похож, но вместо умножения каждого члена уравнения на какое-либо число мы на него их делим. 
 
Теперь потренируйтесь. 
 
Пример №2 (метод почленного деления): 
 
 
 
Правильный ответ: (1; 1). 
 
Пример №3 (метод почленного умножения): 
 
 
 
У вас должен получиться ответ: (3 -4) и (-3; 4). 
 
3) Метод графического решения. 
 
Пример №1: 
 
 
 
Решение: 
 
Для начала перенесём переменную x в правую сторону, чтобы получить уравнение функции: 
 
 
 
Теперь начертим графики полученных функций: 
 
 
Функция №1: 
 
 
 
Функция №2: 
 
 
 
Теперь найдём их пересечение: 
 
 
 
Ответ: (0; 0). 
 
Теперь потренируйтесь сами. 
 
Приметр№2: 
 
 
 
Правильный ответ: (3; 1). 
 
Пример №3: 
 
 
 
У вас должен получиться ответ: (-2; -1) и (-1; 0).