Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2013 в 21:03, реферат
Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий, мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная.
Введение
3
1.
Случайные величины
4
2.
Классификация случайных величин
5
3.
Закон распределения случайной величины
6
4.
Функция распределения случайной величины и ее свойства
7
5.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
9
5.1
Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
9
5.2
Дисперсия случайной величины и ее свойства
13
5.3
Среднеквадратическое отклонение
16
Заключение
17
Список литературы
Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Доказательство. Если – постоянная величина, то и, следовательно, . Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния.
Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат .
Доказательство. Если – постоянный множитель, а – случайная величина, то – тоже случайная величина, математическое ожидание которой . Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем:
.
Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: .
Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать:
Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
Доказательство. Поскольку , следовательно:
,
где – так называемый корреляционный момент величин и . Если случайные величины и независимы, то случайные величины и , очевидно, также независимы, поэтому:
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Следствие 2. Если – постоянная величина, то .
Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то .
Доказательство.
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.
5.3 Среднеквадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.
Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .
Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.
В заключение хотелось бы еще раз вспомнить о том, что подавляющее большинство природных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: результаты спортивных состязаний, номера выигравших билетов в лотереях, количество солнечных дней в течение года и так далее.
Знание закономерностей, которым подчиняются случайные явления, позволяет предвидеть, как эти явления будут протекать. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет или не произойдет некоторое событие. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
Итак, в теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. Теория вероятностей предлагает математический аппарат для описания этих законов.
Список литературы
Интернет-источники
Таблица1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Информация о работе Распределение случайных величин и их числовые характеристики