Министерство образования и науки Российской Федерации

Казанский государственный технический университет им. А.Н.Туполева

Кафедра прикладной математики и информатики

Пояснительная записка

к расчетно-графической работе

по дисциплине

"Теория вероятностей, математическая статистика

и случайные процессы"

              Выполнил:

                                                                     студент гр. 4108   Бадретдинов Р.Р

                          Руководитель:

                                                            доцент кафедры ПМИ, Медведева С.Н.

       Подпись: _______________

       Дата сдачи: _____________

Казань 2011

Задание на расчетно-графическую работу

1.      Провести измерения практически значимой случайной величины (СВ) Х и получить выборку измерений хn.

2.      Объем выборки в соответствии с вариантом задания выбрать из табл.1. Номер варианта задания совпадает с порядковым номером студента в списке учебной группы.

3.      Задать уровень значимости  по следующему правилу: для каждого четного порядкового номера студента в списке группы  = 0,01; для каждого нечетного –  = 0,05.

4.      Выполнить теоретическое обоснование работы.

5.      Провести первичную статистическую обработку полученных данных и представить результаты расчетов в виде формул, таблиц и графиков.

6.      Проверить статистические гипотезы о нормальности распределения по критериям Колмогорова и Хи-квадрат Пирсона.

7.      Провести расчеты с помощью средств MS Excel и оформить работу с соблюдением требований, изложенных в разд. 4 данных методических указаний.

8.      Сделать выводы о характере распределения исследуемой СВ и о соответствии закона распределения нормальному закону (закону Гаусса).

При построении границ интервалов (разрядов) статистического ряда следует учитывать следующее правило: если последняя цифра номера учебной группы – число четное, то в полуинтервал должна быть включена правая граница каждого интервала; если последняя цифра номера учебной группы – число нечетное, то в полуинтервал должна быть включена левая граница каждого интервала.

4.1. Исходные данные к расчетно-графической работе

4.1.1. Получение выборки измерений

Проводится измерение времени, за которое выполняется загрузка системы оптического распознавания символов - ABBYY FineReader. Всего проводится 43 измерений, представленных в табл.5. «Выборка измерений».

Выборка измерений

Таблица 5

Вариант № 2

В соответствии с номером варианта объем выборки  n = 43, уровень значимости  α = 0,01.

4.2. Выполнение расчетно-графической работы

4.2.1. Первичная обработка результатов измерений

4.2.1.1. Построение вариационного ряда

Строим вариационный ряд, т.е. упорядочиваем элементы выборки x1,…,xn  в порядке неубывания. Полученный вариационный ряд представлен в табл.6 "Вариационный ряд ".

Вариационный ряд

              Таблица 6

4.2.1.2. Исключение грубых ошибок измерений

Выполним проверку выборки измерений на наличие грубых ошибок измерений. Для этого:

1. На основе данных об уровне значимости α =0,01 и начальном объеме выборки n=43 из таблицы Приложения 11 по входам n и α выбираем значение tα=3,310.

2. Определим значения минимального и максимального элементов выборки, подлежащие проверке:

x(1) =xmin =9,02,

x(n) = xmax = 13,14.

3.  Находим выборочное среднее: = =  11,17953.

          4. Находим значение параметра s:   s = = 1,098458

5. Выполняем проверку минимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним -stα=7,543639921 c xmin=9,02, xmin>-stα ,следовательно, хmin=9,02 не является грубой ошибкой.

6. Выполняем проверку максимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним  +stα =14,81542985 с xmax=13,14 , xmax< +stα, следовательно, xmax=13,14 не является грубой ошибкой и остаётся в выборке.

Расчеты по данному алгоритму приведены в Приложении 1.

Таким образом, грубых ошибок в выборке нет. Заканчиваем их поиск.

После выполнения алгоритма выявления грубых ошибок объем выборки остался прежним: n=43. Соответственно, не изменились и s.

4.2.1.3. Построение статистических оценок математического ожидания и дисперсии

Точечные оценки

Рассчитаем реализацию точечной оценки математического ожидания (выборочное среднее):

= =11,17953

Рассчитаем реализацию точечной оценки дисперсии (исправленную выборочную дисперсию):

= = 1,206609 с2.

Интервальные оценки

Доверительная вероятность, с которой доверительный  интервал накроет истинное значение параметра закона распределения случайной величины:

=1 – α = 0,99.

Рассчитаем границы доверительного интервала для математического ожидания.

Реализация точечной оценки математического ожидания известна (рассчитана в предыдущем пункте).

Из таблиц распределения Стьюдента по значениям k=(n-1)  и находим значение :

              =2,694.

Границы доверительного интервала для математического ожидания :

= = 10,72290845 ,

= = 11,63615155.

Полученный доверительный интервал для математического ожидания:

= (10,72290845; 11,63615155)              .

Рассчитаем границы доверительного интервала для дисперсии.

Рассчитаем значения:

= 0,005                            ,              = 0,995.

Из таблицы - распределения, по входам k=(n –1)=42 и =0,005, k=(n –1)=42 и =0,995 найдем значения критических точек и :

              =70,61573

          = 22,8595681.

Границы доверительного интервала рассчитаем по формулам:

= 0,734740391 ,

= 2,269694196 .

Полученный доверительный интервал для дисперсии:

= (0,734740391; 2,269694196).

4.2.1.4. Построение статистического ряда

Находим размах выборки:

r =хmax- xmin=13,14–9,02=4,12.

Находим количество разрядов (интервалов)  q=6, длину интервала делаем одинаковой:

li = r/q =  4,12/6 =0,686666667.

Выделяем представителей разрядов и подсчитываем число элементов выборки nj, попавших в j-й разряд (интервал).  Рассчитываем относительную частоту попадания элементов в разряды, т. е. относительные частоты разрядов pj* статистического ряда:

pj* =              nj / n               ,                            (j=).

На основе относительных частот рассчитываем плотность относительной частоты для каждого разряда по формуле:

=              ,                            (j=),

здесь – длина j-го разряда.

Результаты расчетов, приведенные в приложении 3 «Статистический ряд», сводим в таблицу 7.

Статистический ряд

Таблица 7

4.2.1.5. Построение статистических оценок функции распределения

1. Статистическая функция распределения

Статистическая функция распределения F*(x) рассчитывается по формуле:

F*(x) =

где  - число вариантов вариационного ряда (значений с учетом кратности, т.е. количества повторений), расположенных левее x (включая точку x) , n – объем выборки.

Строим график оценки функции распределения, который представлен на рис.7.

Рис.7. Статистическая функция распределения

Данные для построения статистической функции распределения приведены в приложении 4 (Критерий Колмогорова).

2. Кумулятивная ломаная

Кумулятивную ломаную (вторую оценку функции распределения) строим по формулам:

F** (x) = 0,

F** (x) = p,

F** (x) = p + p,

……………………

F** (x) = p + p+ … + p,

где  =1.

Результаты расчетов для построения кумулятивной ломаной из таблицы приложения 2 занесем в табл.8.

                                                                                                                                                           Таблица 8

График кумулятивной ломаной представлен на рис.8.

Рис.8.Кумулятивная ломаная

4.2.1.6. Статистические оценки плотности распределения

1.      Гистограмма

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною , а высота равна отношению = (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Учитывая свойство плотности распределения можно записать:

P(xj-1 X<xj )= f(j)*lj               ,              (j=0,q) , где lj – длина j-го интервала, f(j)- средняя на интервале lj плотность распределения f(x).

Заменяя P(xj X<xj+1 ) частотой p*j статистического ряда, получим следующее выражение для приближенного значения f*j плотности распределения на разряде Ij : 

f*j=  p*j/ lj ,                                           j=1,q.

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим образом: на оси Оx отложим длины разрядов и на них, как на основаниях, построим прямоугольники, имеющие площадь p*j и высоту равную f*j (см. рис.3).

Используем данные из табл. 3. “Статистический ряд” для построения оценок плотности распределения f(x).

Первый способ построения гистограммы: на основе относительных частот. Для построения статистических оценок плотности распределения используем таблицу статистического ряда (табл. 3).

Рис.9. Гистограмма

Существует еще один способ построения гистограммы. Аналогично первому способу отложим на оси ОХ разряды (границы интервалов) из таблицы статистического ряда и на каждом i-ом интервале построим прямоугольник высотой yi:   yi=nj. Данная гистограмма приведена на рис.10.

Рис.10. Оценка плотности распределения, построенная по частотам nj.

Данные для построения плотности распределения приведены в Приложении 2 (Интервальная таблица).

2.      Полигон частот

Построим полигон частот – вторую оценку плотности распределения f(x). Полигон относительных частот строится по точкам (, ) ,               j= (рис. 11)

Рис.11. Полигон относительных частот

Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны (, nj) , j= (см. рис. 12).

Рис.12. Полигон частот

4.2.2. Проверка статистических гипотез о законе распределения СВ

4.2.2.1.  Критерий согласия  χ2  Пирсона

В качестве оценок параметров нормального закона примем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии:

=11,17953 , =1,206609978

.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения X и получить выборку xn;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Определить число интервалов ;

5. Определить границы интервалов;

6. Определить количество элементов попадающих в интервал;

7. Задать гипотезу о плотности распределения f0 (x);

8.Определить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал

(xj-1; xj), равную pj:       j ,

где - середина lj,

       lj– длина интервала.

           9.Рассчитать значение реализации статистики проверки гипотезы:

, где q –количество интервалов;

10.Задать уровень значимости α;

11.С помощью таблиц распределения Пирсона, по входам α  и k=q-r-1 определить, здесь r – количество параметров предполагаемого закона распределения;

12.Принять или отклонить гипотезу по правилу:

если <, гипотеза принимается

если >, гипотеза отклоняется

Расчет значения функции f0(x) будем проводить по формуле:

, используя при этом встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны значению , точечной оценке математического ожидания , точечной оценке среднеквадратического отклонения , четвертый параметр равен 0, что соответствует возвращению функцией значения плотности распределения нормального закона распределения.

Зададим вероятность, а=0,01 практически невозможного события, заключающегося в том, что сумма относительных отклонений оценки плотности распределения от значения функции плотности распределения, принятой в качестве гипотезы, не превзойдет значения   . Если выполняется условие: <, то гипотеза принимается.

Значение параметра , возьмем из таблицы распределения 2 Пирсона, исходя из значений вероятности a и числа степеней свободы k=q-r-1, где r- количество параметров предполагаемого закона распределения.

После расчета реализации статистики проверки статистической гипотезы о нормальном распределении (наблюдаемого значения критерия), получили набл=3,004762, которое не превышает значение параметра =11,34488. Следовательно, гипотеза о нормальном  распределении  случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 5.

4.2.2.2.  Критерий  согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова позволяет проверить гипотезу о виде функции распределения случайной величины и ее параметрах. Выдвинем следующую гипотезу: случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами:

              =11,17953 и =1,098458.

В качестве значений параметров берем рассчитанные ранее значения реализаций точечных оценок этих параметров.

Рассчитаем значение реализации статистики проверки гипотезы t:

   ,

где xi –элемент выборки, .

Расчет значения функции F0(x) можно осуществлять по формуле:

x, используя при этом встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны значению xi, точечной оценке математического ожидания , точечной оценке среднеквадратического отклонения , значение четвертого параметра равно 1, что соответствует возвращению встроенной функцией значения функции распределения нормального закона.

Алгоритм проверки гипотезы:

1.      Провести измерения Х и получить выборку хn;

2.      Построить вариационный ряд;

3.      Исключить грубые ошибки;

4.      Построить статистическую функцию распределения;

5.      Задать гипотезу, что F0(x) есть функция распределения Х;

6.      Подсчитать t, при этом для вычисления значений функции распределения F0(x) требуется нормализовать выборку значений случайной величины Х, т.е. перейти к случайной величине Y, которая является нормированной случайной величиной Х: yi=(xi-)/ S.;

7.      Задать а и с помощью таблицы Колмогорова найти tα;

8.      Принять или отклонить гипотезу;

Зададим вероятность а=0,01 практически невозможного события, заключающегося в том, что оценка функции распределения отклонится от значения функции принятой в качестве гипотезы, на величину большую, чем tα P(.

Если выполняется условие: t<tα, то гипотеза принимается.

Значение параметра tα возьмем из таблицы Колмогорова, исходя из значений вероятности а и объема выборки n: tα=0,24332.

После выполнения алгоритма проверки гипотезы получили t=     0,056632, которое не превышает значение параметра tα. Следовательно, гипотеза о нормальном  распределении  случайной выборки принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 4.

Выводы

В результате выполненных расчетов  было установлено следующее:

1. При проведении опыта не было выявлено грубых ошибок измерения.
2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии соответственно равны:

     =11,17953;

                                                  =1,206609978;

3. В результате проведенной проверки соответствия закона распределения случайной величины – времени загрузки системы оптического распознавания символов - ABBYY FineReader – нормальному закону, было установлено, что с вероятностью = 0,99 практически достоверного события выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.

Список литературы

1.                  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 2001.

2.                  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.-8-е изд., стер.- М.: Машиностроение, 2002.

3.                  Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов.- М.: Высш. шк., 1984.

4.                  Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 2002.

5.                  Ю. В. Кожевников «Введение в математическую статистику» КГТУ им. А. Н. Туполева, 1996.

6.                  Роднищев Н.Е. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001.

7.                  Большев Л.Н., Смирнов Н.В. «Таблицы математической статистики». М: Наука,1983.

Приложения

Приложение 1. Исключение грубых ошибок

Приложение 2. Интервальная таблица

Приложение 3. Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

Приложение 4. Критерий Колмогорова

Приложение 5. Критерий Пирсона

Приложение 6. Таблица значений функции (x)=

Таблица значений функции (x)=