Проверка статистических гипотез

         Единственный способ уменьшить обе вероятности состоит в увеличении объема выборки (плотность распределения оценки параметра при этом становится более "узкой"). При выборе критической области руководствуются правилом Неймана – Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность a была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. Однако выбор конкретного значения a относительно произволен. Употребительные значения лежат в пределах от 0,001 до 0,2. В целях упрощения ручных расчетов составлены таблицы интервалов с границами q _{1–a /2} и q a _/2 для типовых значений a и различных способов построения критерия.

         При выборе уровня значимости необходимо учитывать мощность критерия при альтернативной гипотезе. Иногда большая мощность критерия оказывается существеннее малого уровня значимости, и его значение выбирают относительно большим, например 0,2. Такой выбор оправдан, если последствия ошибок второго рода более существенны, чем ошибок первого рода. В зависимости от сущности проверяемой гипотезы и используемых мер расхождения оценки характеристики от ее теоретического значения применяются различные критерии. К числу наиболее часто применяемых критериев для проверки гипотез о законах распределения относятся критерии хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, Мизеса, Вилкоксона, о значениях параметров – критерии Фишера, Стьюдента. 
 
 

4.Типовые распределения

               При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z(a ).

Для односторонней  критической области z(a ) = z_1–a , т.е. критическое значение аргумента z(a ) соответствует квантили z_1–a уровня 1– a , так как , см. рис.  

Односторонняя критическая область

Для двусторонней критической области, с уровнем  значимости a , размер левой области a 2, правой a- 1 (a 1+a 2=a), рис. 3.4. Значения z(a +2) и z(a- 1) связаны с квантилями распределения соотношениями z(a- 1)=z_1–a ₁, z(a 2)=za ₂, так как , . Для симметричной функции плотности распределения f(z) критическую область выбирают из условия a 1=a 2=a /2 (обеспечивается наибольшая мощность критерия). В таком случае левая и правая границы будут равны |z(a /2)|. 

Двусторонняя  критическая область

Нормальное  распределение.

Этот вид распределения  является наиболее важным в связи  с центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение  суммы независимых случайных  величин стремится к нормальному  с увеличением их количества при  произвольном законе распределения  отдельных слагаемых, если слагаемые обладают конечной дисперсией. Так как реальные физические явления часто представляют собой результат суммарного воздействия многих факторов, то в таких случаях нормальное распределение является хорошим приближением наблюдаемых значений. Функция плотности нормального распределения

– унимодальная, симметричная, аргумент х может принимать любые действительные значения, см. рис..

 вместо значений функции Ф(u) приводят значения интеграла вероятностей

Интеграл вероятностей связан с функцией нормального распределения  соотношением Ф(u) = 0,5 + F(u).

  Распределение хи-квадрат   .                                                                               Распределению хи-квадрат (c ²-распределению) с k степенями свободы соответствует распределение суммы квадратов n стандартизованных случайных величин u_i, каждая из которых распределена по нормальному закону, причем k из них независимы, n ³ k. Функция плотности распределения хи-квадрат с k степенями свободы

где х = a ², Г(k/2) – гамма-функция.                                                                                 Число степеней свободы k определяет количество независимых слагаемых в выражении для c ². Функция плотности при k, равном одному или двум, – монотонная, а при k >2 – унимодальная, несимметричная, см. рис.  

Плотность распределения хи-квадрат

Математическое  ожидание и дисперсия величины c ² равны соответственно k и 2k. Распределение хи-квадрат является частным случаем более общего гамма-распределения, а величина, равная корню квадратному из хи-квадрат с двумя степенями свободы, подчиняется распределению Рэлея.

С увеличением  числа степеней свободы (k >30) распределение хи-квадрат приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием k и дисперсией 2k. В таких случаях критическое значение c ²(k; a ) » u_{1– a} (k, 2k), где u_{1– a} (k, 2k) – квантиль нормального распределения. Погрешность аппроксимации не превышает нескольких процентов.

Распределение Стьюдента.

Распределение Стьюдента (t-распределение), характеризует распределение случайной величины ,    где u₀, u₁, …, u_k взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента

Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения – унимодальная и симметричная функция, похожая на нормальное распределение, см. рис.  

Область изменения аргумента t от –¥ до ¥ . Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k–2) соответственно, при k>2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней или двусторонней критической области.

Распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k £ 30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов. Поэтому относительно оценки ошибок малыми считаются выборки объемом не более 30 единиц, большими – объемом более 100 единиц. При аппроксимации распределения Стьюдента нормальным распределением для односторонней критической области вероятность Р{t > t(k; a )} = u_{1– a} (0, k/(k–2)), где u_{1– a} (0, k/(k–2)) – квантиль нормального распределения. Аналогичное соотношение можно составить и для двусторонней критической области.

Распределение Фишера.

Распределению Р.А. Фишера (F-распределению Фишера – Снедекора) подчиняется случайная величина х =[(y₁/k₁)/(y₂/k₂)], равная отношению двух случайных величин у₁ и у₂, имеющих хи-квадрат распределение с k₁ и k₂ степенями свободы. Область изменения аргумента х от 0 до ¥ . Плотность распределения

В этом выражении  k₁ обозначает число степеней свободы величины y₁ с большей дисперсией, k₂ – число степеней свободы величины y₂ с меньшей дисперсией. Плотность распределения – унимодальная, несимметричная, см. рис.  

Математическое  ожидание случайной величины х равно k₂/(k₂–2) при k₂>2, дисперсия т₂ = [2 k₂² (k₁+k₂–2)]/[k₁(k₂–2)²(k₂–4)] при k₂ > 4. При k₁ > 30 и k₂ > 30 величина х распределена приближенно нормально с центром (k₁ – k₂)/(2 k₁ k₂) и дисперсией (k₁ + k₂)/(2 k₁ k₂). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Проверка гипотез о законе распределения

               Обычно сущность проверки гипотезы о законе распределения экспериментальных данных заключается в следующем. Имеется выборка экспериментальных данных фиксированного объема, выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Необходимо оценить по этой выборке параметры закона, определить степень согласованности экспериментальных данных и выбранного закона распределения, в котором параметры заменены их оценками.

Критерий  хи-квадрат К. Пирсона.

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения  между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F_п(x), которая приближенно подчиняется закону распределения c ². Гипотеза Н₀ о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Критерий  А.Н. Колмогорова.

Для применения критерия А.Н. Колмогорова экспериментальные данные требуется представить в виде вариационного ряда (экспериментальных данных недопустимо объединять в разряды). В качестве меры расхождения между теоретической F(x) и эмпирической F_n(x) функциями распределения непрерывной случайной величины Х используется модуль максимальной разности

dn = max|F(x) - F_n(x)|.