Производная по направлению. Градиент

Федеральное агентство  по образованию

Томский Государственный архитектурно-строительный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Реферат

Производная по направлению

Градиент 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: Лавренюк Т.И. 
Гр. 017-13 
Проверил: Радченко А.В.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск,2008

Содержание 
 
 
 
 

1. Производная по направлению                                                  3
2. Градиент                                                                                        4
3. Список литературы                                                                    5

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Производная по направлению

 

 

Поместим начало вектора  в точку М₀ (х₀, у₀, z₀). На векторе возьмем точку М (х₀+∆х, у₀+∆у, z₀+∆z) на расстоянии ∆S = от точки М₀, при этом функция u = f(x, y, z) получит приращение  
∆u = f(х₀+∆х, у₀+∆у, z₀+∆z) - f(x₀, y₀, z₀).

 

Определение.

Если существует конечный предел отношения , то этот предел называется производной функции u = f(x, y, z) по направлению S и обозначается символом:

Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки 
М₀ (х₀, у₀, z₀), то

 где cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы вектора S.

 

 

Пример  решения задачи

Задача: Показать, что в точке А (4,-12) производная функции по любому направлению равна нулю.

 

Решение

Найдем значения частных  производных в точке А:

Посмотрим значение производной в направлении произвольного вектора S:

Задача решена. 
 
 
 
 
 

 

 

Градиент 

Определение.

Вектор, координаты которого в декартовой системе координат  равны значениям частных производных функции в точке М₀, называется градиентом этой функции в заданной точке, и обозначается:

 

Градиент функции в  точке М₀ дает скорость (величину и направление) наибыстрейшего изменения функции в точке М₀ (х₀, у₀, z₀). 

Некоторые свойства градиента:

1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение равно 
    
   Наибольшее значение будет при , и в этом случае 
   =
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю. 
   В этом случае  
   , cos =0 и

Теорема.

Пусть дано скалярное  поле и определено в этом скалярном поле поле градиентов 

Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S.

 

Пример  решения задачи

Задача: Найти величину и направление градиента функции в точке М (2,2)

Решение

Найдем значения частных  производных в точке М:

Найдем значение градиента функции в точке М:

Определим направление  градиента функции, т.е. найдем его  направляющие косинусы:

Задача решена. 
 
 

Литература: 

1. Функции нескольких переменных. Методические указания. 
   / Куницына Т.С. Томск: Изд-во Томского архитектурно-строительного университета, 2003. – 64с.
2. Данко П.Е., ПоповА.Г., Кожевникова Т.Я. 
   Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов. В 2-х частях. Ч 1. – 4-е изд., испр. И доп. – М.:Высш. Шк., 1986.- 304с., ил.