Производная функции

Содержание

Введение 2

§1. Производная функции 4

1.1. Определение производной 4

1.2. Геометрический смысл производной 4

1.3. Механический смысла производной 5

1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления 6

§2. Приложение производной к исследованию функции 10

2.1. Исследование функции на возрастание и убывание 10

2.2. Исследование функции на экстремумы 10

2.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 12

2.4. Выпуклость функции. Точки перегиба 13

§3. Применение производной в экономике 15

3.1. Использование понятия производной в экономике 15

3.2. Приложения производной в  экономической теории 16

Заключение 18

Список использованных источников 19

 

Введение

Современная экономическая  наука характеризуются широким  использованием математики. Математические методы стали составной частью методов экономической науки. Авторы учебного пособия [3] перечисляют следующие цели использования математических методов в экономике:

1. выделение и формальное описание наиболее важных и существенных связей экономических переменных и объектов;
2. получение из исходных данных и соотношений методами дедукции выводов, адекватных изучаемому объекту;
3. получение новых знаний об объекте индуктивным путем, используя методы математики и статистики;
4. четкое и компактное изложение положений экономической теории с помощью языка математики.

В экономике используются различные разделы математики (математический анализ, математическая статистика, теория игр, линейное программирование и др.).

 Представленная работа  посвящена использованию производной  в решении задач с экономическим содержанием. Дифференциальное исчисление широко используется в экономической теории. Примерами использования производной в экономике являются анализ производственной функции, эластичность спроса (величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены), предельный анализ (предельная стоимость, предельный доход, предельные издержки, предельная полезность и т.д.).

Появление дифференциального  исчисления относят к XVII веку. А в XIX веке в экономической теории сложилось новое направление исследований, использующее понятие предельных (маржинальных) величин. На сегодняшний день активное использование производной для решения экономических задач (наряду с техническими) обусловлено, в том числе, и развитием вычислительных систем.

Целью представленной работы является обобщение материала по использованию производной в задачах с экономическим содержанием. Для реализации этой цели были поставлены следующие цели:

1. исследовать математические основы темы «Производная»;
2. выделить основные типы задач, решаемых с помощью производной, и раскрыть способы их решения;
3. выделить типы задач с экономическим содержанием,  требующих для своего решения применения производной.

 

 

§1. Производная функции

1.1. Определение производной

Пусть функция f определена на некотором промежутке Х. Придадим точке х₀ произвольное приращение так, чтобы x₀+ x Х. Тогда функция f(x) получит приращение

_.

Производной функции f в точке х₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается  , , , , .

Таким образом, по определению . 

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).

1.2. Геометрический смысл производной

Пусть y=f(x) определена в и дифференцируема в некоторой внутренней точке . Пусть M₀(x₀;y₀) - некоторая точка графика функции, а М(х;у)- некоторая другая точка. Прямая М₀М называется секущей кривой y=f(x). Если оставить точку М₀ неподвижной, а точку М перемещать по кривой в направлении к М₀, то секущая будет поворачиваться вокруг М₀. При М М₀ она будет стремиться к некоторому предельному положению М₀Т.

Касательной к кривой называется предельное положение секущей М₀М, когда М М₀ по кривой.

Dх=х-х₀ .

Пусть секущая р, проходящая через точки М₀(х₀;y₀) и М(х₀+Dх;у₀+Dy) образует с положительным направлением оси Ох угол . Из DМ₀АМ

  , (1)

т.е. j=j(Dx). Если Dх 0, то М М₀ по графику функции, и Dy 0. Следовательно, секущая будет поворачиваться, и угол j будет изменяться. Так как arctgx - непрерывная функция то

.

То есть существует правой части (1). Значит, существует и левой части, т.е. существует , и имеет место равенство . Следовательно, существует предельное положение угла j, которое обозначим через j₀, т.е существует предельное положение М₀Т секущей М₀М при М М₀. Следовательно, М₀Т- касательная к графику у=f(x) в точке М₀ и

 Û .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀;f(x₀)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)

1.3. Механический смысла производной

1) Пусть - закон движения материальной точки. В момент времени t₀ точка прошла путь S₀. В момент времени точка прошла путь S. За время Dt точка прошла путь .

- средняя скорость движения  точки между моментами времени t₀ и , - называется скоростью движения материальной точки в момент времени t₀.

,  .

DS - путь, фактически пройденный материальной точкой за промежуток времени Dt (между t₀ и ) с переменной скоростью.

dS - путь, который прошла бы точка за момент времени Dt, если бы она двигалась с постоянной скоростью ( скоростью в момент времени t₀).

Если  , то .

2) - закон изменения скорости. Рассуждаем аналогично примеру 1: - среднее ускорение за время между t₀ и , - ускорение в момент времени t₀.

1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (Ферма, фр., 1601-1665). Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке <a;b> и в некоторой точке x₀Î<a;b> имеет наименьшее или наибольшее значение. Тогда если функция дифференцируема в точке x₀, то f¢ (x₀)=0.

Доказательство.

 Пусть f(x₀) – наибольшее значение функции f(x) на <a;b>. Тогда по определению "xÎ<a;b> выполнено f(x)≤ f(x₀).

Если x< x₀, то ; если x> x₀, то .

По условию $ f¢ (x₀), то есть $ f¢ (x₀+0), $ f¢ (x₀-0) и f¢ (x₀+0)= f¢ (x₀-0)=f¢ (x₀).

Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах ,

.

Из того, что  следует, что f¢ (x₀)=0.

Аналогично рассматривается  случай, когда f(x₀) – наименьшее значение функции.

Теорема 2 (Ролля, фр., 1672-1719). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем

1. f(x)ÎC[a;b],
2. f(x) дифференцируема на (a;b),
3. f(a)= f(b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что f¢ (c)=0.

Доказательство.

 Так как f(x) непрерывна на [a;b], то она имеет наименьшее значение, равное m и наибольшее значение, равное М (по 2-й теореме Вейерштрасса), то есть "xÎ[a;b] выполнено m≤ f(x)≤M.

1. Если m=M, то f(x)=М "xÎ[a;b]. Следовательно, f¢ (x)=0 и, значит, в качестве точки с можно взять любую точку из (a;b).
2. Пусть m¹M, m<M.

Þ одно из чисел m или M отлично от f(a). Пусть M¹f(a), M¹f(b). Т. к. f – непрерывная функция, то по 2-й теореме Вейерштрасса существует точка сÎ[a;b], такая что f (c)=М. Она может быть только внутренней точкой, т. к. из того, что M¹f(a) Þ с¹а, а из того, что M¹f(b) Þ с¹b Þ сÎ(a;b).

Т. о., f имеет наибольшее значение в некоторой внутренней точке сÎ(a;b), f дифференцируема в точке с, следовательно, по теореме Ферма f¢ (c)=0.

Теорема 3 (Лагранжа, фр., 1736-1813, теорема о конечных приращениях). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем

1. f(x)ÎC[a;b],
2. f(x) дифференцируема на (a;b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что . (1)

Доказательство.

 Рассмотрим на [a;b] вспомогательную функцию

.

Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. j(х) непрерывна на [a;b] как разность непрерывной функции f(x) и линейной функции;
2. Þ $j¢ (х) "хÎ(a;b);
3. j(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0; j(a)=f(a)-f(a)=0 Þ j(a)=j(b).

Следовательно, по теореме  Ролля $ сÎ(a;b): j¢ (c)=0, т. е. 

 Þ .

Формула (1) называется формулой Лагранжа. Ее другая форма записи:

f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a). (2)

Теорема 4 (Коши, обобщенная теорема о конечных приращениях). Пусть на [a;b] определены функции f(x) и g(x), причем

1. f(x), g(x)ÎC[a;b],
2. f(x), g(x) дифференцируемы на (a;b),
3. g¢ (x)¹0 "хÎ(a;b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что . (4)

Доказательство.

 Левая часть равенства  (4) имеет смысл, т. к. выполнено  условие 3). Действительно, если  бы g(b)=g(a), то к функции g(x)можно было бы применить теорему Ролля, и оказалось бы, что , но это противоречит условию 3). Следовательно, g(b)¹g(a) и формула (4) имеет смысл.

Рассмотрим вспомогательную  функцию 

.

Эта функция удовлетворяет  на [a;b] условиям теоремы Ролля:

1. F(х) непрерывна на [a;b] как линейная комбинация непрерывных функций,
2. F(х) дифференцируема на (a;b): ;
3. F(a)=0, F(b)=0, т. е. F(a)=F(b).

По теореме Ролля 

 Þ .

 

§2. Приложение производной к исследованию функции

2.1. Исследование функции на возрастание и убывание

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Функция f называется возрастающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)<f(x₀) при x<x₀ ("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)>f(x₀) при x>x₀ ("xÎ(x₀, x₀+d).

Функция f называется убывающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)>f(x₀) при x<x₀ ("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)<f(x₀) при x>x₀ ("xÎ(x₀, x₀+d).

Теорема (достаточное условие монотонности функции). Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

f(x)=х³-6х²+5.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, а ее производная равна f´(x) = 3x²-12x=3(x-2)(x+2). Функция f(x) возрастает тогда и только тогда, когда f´(x)>0, т.е. (x-2)(x+2)>0, откуда . Аналогично, данная функция убывает, когда f´(x)<0, т.е. (x-2)(x+2)<0, откуда .

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах и , а убывает на интервале (-2; 2).

2.2. Исследование функции на экстремумы

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)£f(x₀). Значение функции в точке x₀ называется максимумом функции.

Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀): "xÎV(x₀,d) выполнено f(x)³ f(x₀). Значение функции в точке x₀ называется минимумом функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x₀)=0 или не существует.

Т. о., критические точки  являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему исследованию.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-d; x₀), (x₀;x₀-d). Если:

1) f ¢(x)>0 при x<x₀ и f ¢(x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка максимума;

2) f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка минимума;

3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 "xÎV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x₀ . Тогда функция имеет в точке x₀ максимум, если и минимум, если .

Пример. Найти экстремумы функции f(x)= x³-9x²+15x.

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем f ¢(x)=3х²-18х+15=3(х-1)(х-5). Критические точки х₁=1, х₂=5. Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума, для чего найдем f¢¢(1) и f¢¢(5): f¢¢(х)=6х-18. Откуда, f¢¢(1)=-12, f¢¢(5)=12.