Програмирование в математической среде mathcad

 

Решение:

 

1.Область  определения функции  , т.к. функция при > 0 .

2.Так как  при , то график функции проходит через начало координат.

3.Функция  принимает положительные значения  в интервале  и отрицательные в интервале .

4. Функция  определена на всей числовой  прямой, следовательно, вертикальных  асимптот нет. Найдем наклонные  асимптоты:

Уравнение наклонной  асимптоты имеет вид: y = kx+b .

Исследуем поведение  функции при :

если существуют конечные пределы 

 и 

то прямая y = kx+b - наклонная асимптота графика функции f(x)

при (если к = 0, т.е. ,то y=b- горизонтальная асимптота).

 

 

Следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Так как  , то функция не является ни четной, - функция не является ни нечетной.

6. Исследуем  функцию на монотонность:

;

  ; - критическая точка.

 

 

 

x		1
y¢	+	0	+
y	ä	0.3	ä

 

 

 

 

 

 

 

7. Исследуем  график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки  перегиба. Для этого найдем вторую  производную функции:

 

 

; .

 

x		1
y¢	-	0	+
y		0.3

График функции  имеет вид:

Задание 6

 

Найти неопределенный интеграл (результаты интегрирования проверить дифференцированием).

 

 

Решение:

 

Проинтегрируем  функцию:

 

Проверим  полученный результат дифференцированием:

 

.

 

Задание 7

 

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кривыми  и .

 

Решение:

 

Координаты  центра масс данной фигуры найдем по формулам:

; .

 

Фигура ограничена снизу линией , а сверху - , т.е. .

Найдем точки  пересечения графиков функции  и . Для этого приравняем функции и :

 

 
или

              

              

 

В точке 

    

 

Из этого  следует, что точки пересечения  кривых O(0,0) и B(1,1), то – пределы интегрирования.

 

Определим координату :

,

 

 

,

 

.

 

Определим координату :

 

 

 

.

 

Координаты  центра масс данной фигуры .

 

 

 

Задание 8

Найти вторые частные производные функции  . Убедиться в том, что .

 

Решение:

Вначале находим  первые частные производные данной функции:

; 

.

Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, находим вторые частные производные данной функции:

 

 

 

= .

Как видно, смешанные  частные производные  равны.

 

Задание 9

 

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка  , , .

 

Примечание:

Данное дифференциальное уравнение относится к третьему типу уравнений высших порядков, допускающих  понижение порядка, т.е. дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащего явно аргумента x:

Тогда порядок  уравнения всегда можно понизить на единицу, введя новую функцию  , где y рассматривается как ее аргумент. Для этого нужно выразить через производные новой функции по аргументу у. Использовав правило дифференцирования сложной функции, получим:

Из проведенных  вычислений ясно, что  выражается через производные функции p и y, порядок которых не превышает .

В итоге вместо уравнения  получаем уравнение вида:

 

Решение:

Данное уравнение  является уравнением III типа, так как  не

содержит  явно аргумент x и n= 2.

С помощью  подстановки  понизим порядок уравнения, тогда .

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

- общее решение исходного  уравнения.

 

Определим значения и , использовав начальные данные. При , и :

,

 

,

 

.

 

Следовательно, искомое решение имеет вид:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Листинги выполнения задания

 

Задание 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5

 
Задание 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

 

 

 

Задание 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9

 

Задание 10. Цепи постоянного  тока

Задача 5. Цепь состоит из нескольких ветвей, в каждой из которых находится  источник ЭДС и резистор (рис.1). Необходимо рассчитать цепь, то есть определить токи во всех ее ветвях.

Из законов Кирхгофа получаем систему  уравнений:

Для решения этой системы уравнений  запишем матрицу:

Левую часть матрицы, содержащую коэффициенты при токах I_i, обозначим через A, а правую --- через B. Чтобы получить матрицу токов в MathCAD используется оператор TOK:=A^-1 · B. Решение задачи представлено в документе 03.mcd.

 

Задание 11. Однофазные цепи переменного  тока

Цепь состоит из источника переменной ЭДС и трех ветвей, в каждой из которых резистор, конденсатор и  катушка индуктивности. Вторая и  третья ветви соединены параллельно  между собой, последовательно с  ними включена первая ветвь. Рассчитайте  все токи и напряжения, полную, активную и реактивную мощности. Постройте  векторную диаграмму. Определите действующие  значения всех токов и напряжений.

Импеданс k--ой ветви, содержащей последовательно соединенные резистор r_k, конденсатор C_k и катушку индуктивности L_k, равен:

Если ветви 2 и 3 соединены параллельно, а ветвь 1 --- последовательно с  ними, то импеданс цепи:

Неизвестные токи и напряжения найдем из закона Ома:

Это позволяет построить векторную  диаграмму цепи, рассчитать комплекс полной мощности. Решение задачи представлено в файле 04.mcd.

Добавьте к предыдущей цепи четвертую  ветвь параллельно источнику. Величины сопротивления, емкости и индуктивности  подберите сами. Рассчитайте цепь, постройте векторную диаграмму.

Решите для случая, когда первая и третья ветви состоят их резистора, конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно. Постройте  векторную диаграмму.

Задача 12. Расчет цепей, содержащих источник негармонической ЭДС

Цепь  состоит из параллельно соединенных резистора и конденсатора, к которым последовательно подключена катушка индуктивности и источник негармонического напряжения

u(t)=U₀+U_m1sin(ωt+φ₁)+ U_m2sin(2ω t+φ₂)+ U_m3sin (3ω t+φ₃).

Найдите токи в ветвях, их действующие значения, мощности.

Заменим этот источник источником постоянной ЭДС U₀ и тремя источниками переменной ЭДС U_m1sin(ωt+φ₁), U_m2sin(2ωt+φ₂), U_m3sin(3ωt+φ₃).

Найдем  импеданс цепи для k-ой гармоники:

где tg(φ_k) равен отношению мнимой и действительной частей импеданса. Комплексная амплитуда k--ой гармоники тока определяется как отношение комплексной амплитуды напряжения к импедансу для k--ой гармоники. В представленном ниже документе MathCAD (23.mcd) построен график u(t), рассчитаны импедансы и амплитуды токов для различных гармоник, найдены действующие значения тока и напряжения, определена зависимость i(t), построен график.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тестовые  задания

1. Пакет MathCAD предназначен для...

1. Работы с графическими файлами
2. Создания, редактирования и просмотра текстовых документов
3. Выполнения арифметических вычислений
4. Создания презентаций

 

2. Поименованный объект, которому  можно присваивать разные значения  называется...

1. идентификатор
2. переменная
3. константа
4. результат вычислений

 

3. Поименованный объект, зависящий  от некоторого числа аргументов  и принимающий разные значения, называется...

1. переменная
2. константа
3. результат вычислений
4. функция

 

4. Поименованный объект, описывающий  некоторое неизменное значение, называется...

1. идентификатор
2. переменная
3. константа
4. результат вычислений

 

5. Элемент языка MathCAD, с помощью которого можно создавать математические выражения, называется ...

1. константа
2. результат вычислений
3. функция
4. оператор

 

6. Заданный пользователем ряд  числовых значений, выстроенных  в порядке возрастания или  убывания и расположенных с  некоторым шагом, называется в  MathCAD...

1. числовая последовательность
2. дискретная переменная
3. функция пользователя
4. гистограмма

 

7. Отметьте операторы, которые  используются для присвоения  значения переменной в

MathCAD.

1. :=
2. =
3. :
4. —

 

8. Отметьте операторы, которые  используются в MathCAD для вычисления значений функций и арифметических или алгебраических выражений.

1. :=
2. =
3. :
4. -

 

9. Отметьте операторы, которые  используются в MathCAD для задания диапазона значений.

1. =
2. :
3. -
4. ..

 

10. Отметьте встроенные функции  MathCAD, которые можно вызвать, используя панель инструментов «Калькулятор» («Calculator»).

1. Isolve
2. solve
3. root
4. sin