Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2014 в 10:38, курсовая работа
Группы — один из основных типов алгебраических систем, а теория групп — один из основных разделов современной алгебры. Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы выкристаллизовалась с ее сегодняшней ясностью. От Лагранжа, стихийно применявшего группы подстановок для решения алгебраических уравнений в радикалах (1771), через работы Руффини (1799) и Абеля (1824) к Эваристу Галуа, в работах которого (1830) уже достаточно сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин),— вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений.
Введение...............................................................................................3
1.Действие группы на множестве......................................................4
2.Лемма Бернсайда..............................................................................6
3.Задачи о раскрасках.........................................................................7
3.1. Задача о бусах.........................................................................7
3.2. Группа вращений куба.........................................................11
4. Заключение....................................................................................15
5. Список литературы.......................................................................16
соответствует последовательное выполнение перестановок
13
(здесь k = 1, 2, 3, 4 обозначает номер столбца, а n = 4, 8, 6, 12, соответственно). Так как отображение из G в группу перестановок больших диагоналей (которую мы отождествляем с S4) является изоморфизмом (как раз этот факт мы приняли без доказательства), то существует
обратное отображение ϕ : S4 → G также являющееся изоморфизмом. Тогда отображение, ψk : S4 → Sn является композицией гомоморфизмов ψk = αk ◦ ϕ, поэтому также
является гомоморфизмом. Следовательно, например,
τ = ψ4 (d1d2d3d4) = ψ4 (d1d2d3)(d3d4) = ψ4 (d1d2d3) ψ4 (d3 d4 ) = σ · η
где η = (e1 e11 )(e2e8 )(e4e7 )(e5e10 )(e6 e12 ) – элемент 4-го столбца, стоящий в той же строке, что и (d3d4).
Так как отображения ψk являются гомоморфизмами, то, в частности, элементы одной строки имеют одинаковый порядок, что очень помогает при проверке перемножения перестановок. Например, можно было заранее сказать без всяких вычислений, что перестановка σ будет произведением 3-циклов. Для решения задачи о раскрасках важно только количество независимых циклов
14
Заключение.
В данной курсовой работе рассматривается действие группы на множестве, введены некоторые понятия, связанные с действием группы G на множестве X , которые используются в формулировке и доказательстве леммы Бернсайда.
Раскрывается принцип применения леммы на практике на примере двух задач о раскрасках. Лемма Бернсайда имеет большое значение для решения различных комбинаторных задач.
15
Список литературы:
1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—
3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.— 288 с.
2. Адян СИ. Проблема Бернсайда и тождества в группах.—
М.: Наука, 1975.
3. Дискретная математика: комбинаторика: учебное пособие / Межевич К.Г. – СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2009. – 80 с.
16
Информация о работе Применение леммы Бернсайда к решению комбинаторных задач