Приближенные числа

 В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного Ч. даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Ч. было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.         

По Дедекинду, свойство непрерывности  прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго  класса («разорвать» прямую на две  части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.        

 Совокупность всех  рациональных Ч. свойством непрерывности  не обладает. Если совокупность  всех рациональных Ч. разбить  на два класса так, что каждое  Ч. первого класса будет меньше  каждого Ч. второго класса, то  при таком разбиении («сечении»  Дедекинда) может оказаться, что  в первом классе не будет  существовать наибольшего Ч., а  во втором — наименьшего. Так  будет, например, если к первому  классу отнести все отрицательные  рациональные Ч., нуль и все  положительные Ч., квадрат которых  меньше двух, а ко второму —  все положительные Ч., квадрат  которых больше двух. Такое сечение  называется иррациональным. Затем  даётся следующее определение  иррационального Ч.: каждому иррациональному  сечению в совокупности рациональных Ч. сопоставляется иррациональное Ч., которое считается большим, чем любое Ч. первого класса, и меньшим, чем любое Ч. верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч., рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.        

 Обоснование Кантора  понятия действительного Ч. отличается  от обоснования Дедекинда, но  также основывается на анализе  понятия непрерывности. Как в  определении Дедекинда, так и  в определении Кантора используется  абстракция актуальной бесконечности.  Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.        

 В последние годы  разрабатывается концепция «вычислимых»  Ч., т. е. таких, приближения  к которым могут быть заданы  посредством какого-либо алгоритма.  Понятие вычислимого Ч. определяется  без пользования абстракцией  актуальной бесконечности, на  базе уточнённого понятия алгоритма.         

 Заключительный этап  в развитии понятия Ч. —  введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного Ч. явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч. возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч., невыполнимому в области действительного Ч. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч., по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч. Однако комплексные Ч. и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Ч. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч. в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч. в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Ч. начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.        

 Совокупность всех  комплексных Ч. обладает так  же, как совокупность действительных  Ч. и совокупность рациональных  Ч., свойством замкнутости по отношению  к действиям сложения, вычитания,  умножения и деления. Более  того, совокупность всех комплексных  Ч. обладает свойством алгебраической  замкнутости, заключающейся в  том, что каждое алгебраическое  уравнение с комплексными коэффициентами  имеет корни снова в области  всех комплексных Ч. Совокупность  всех действительных Ч. (и тем  более рациональных) свойством алгебраической  замкнутости не обладает. Так,  например, уравнение с действительными  коэффициентами х2+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.        

 Наряду с основной  линией развития понятия Ч. (натуральные  Ч. → рациональные Ч. → действительные  Ч. → комплексные Ч.), специфические  потребности некоторых областей  математики вызвали различные  обобщения понятия Ч. в существенно  других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч. В современной теории Ч. получили большое значение т. н. р-адические Ч., системы которых получаются из систем рациональных Ч. посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч.