Оценивание параметров распределения и проверка гипотез о параметрах распределения многомерной генеральной совокупности

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное  учреждение

«Оренбургский Государственный  Университет»

Факультет экономики  и управления

Кафедра математических методов и моделей в экономике

 

 

 

ОТЧЕТ

по лабораторной работе

по курсу “Многомерные статистические методы”

«Оценивание параметров распределения и проверка гипотез о параметрах распределения многомерной генеральной совокупности».

ОГУ 061800.6006.04 ООО

 

Руководитель 

___________Седова Е.Н.

“___”____________2010

Исполнитель            

Студентка гр.08ММЭ                                                                                  ________Копысова А. В.

“__”_____________2010

 

 

 

 

Оренбург 2010

 

Содержание

 

1. Постановка задачи

Исходные данные: две  выборки из многомерных нормально  распределенных генеральных совокупностей , .

На основе выборочных данных из генеральной  совокупности :

1) найти оценки параметров распределения  генеральной совокупности;

2) с вероятностью 0,95 построить доверительную область для вектора математических ожиданий в форме эллипсоида;

3) с вероятностью 0,95 построить доверительную  область для подвектора математических  ожиданий  при нивелировании признака ;

4) с вероятностью 0,95 построить доверительную  область для вектора

математических ожиданий в форме  прямоугольного параллелепипеда;

5) с вероятностью 0,95 построить совместную доверительную область для мат. ожидания и среднего квадратического отклонения;

6) на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о равенстве вектора математических ожиданий стандарту .

На уровне значимости α = 0,05 проверить  гипотезу об однородности генеральных  совокупностей  и .

 

2 Оценивание параметров  распределения многомерной генеральной  совокупности

Оценкой вектора математических ожиданий является вектор средних арифметических .

Оценка ковариационной матрицы Σ обозначается и рассчитывается , где – матрица центрированных значений исходных признаков.

Исправленная оценка ковариационной матрицы рассчитывается по формуле:

.

При помощи программ Statistica и Mathcad (приложение А) получены следующие оценки параметров распределения генеральной совокупности :

.

 Для построения доверительной области для вектора математических ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности в случае, когда ковариационная матрица не известна, используется статистика Хотеллинга ,  которая связана с F-статистикой соотношением ,  где – значение, найденное по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, соответствующее уровню значимости , и числам степеней свободы и .

Уравнение поверхности, ограничивающей доверительную область для вектора математических ожиданий с вероятностью γ, имеет вид:

 (1) 

Вышеприведенное уравнение  определяет n-мерный эллипсоид с центром в точке с координатами .

По таблице критических точек F-распределения или с помощью

функции FРАСПОБР( ) пакета Excel найдем F(0,05;3;47) = 2,8. С

помощью математического пакета Mathcad (приложение А)  рассчитаем :

Подставив , , в левую часть выражения (1) и рассчитав правую часть, получим:

.

 

Перенесем начало координат в центр  эллипсоида. Для этого сделаем

замену переменных :

 (2).

 

Левая часть выражения (2) представляет собой квадратичную форму относительно вектора . Приведем квадратичную форму к каноническому виду. Для этого найдем собственные числа и собственные

вектора матрицы  .

Подставив в выражение (2) вместо вектора произведение

, получаем уравнение эллипсоида  в каноническом виде: .

Для построения доверительной области для подвектора математических ожиданий при нивелировании признака введем в рассмотрение матрицу . Статистика Хотеллинга примет вид:

 (3).

Статистика (3) связана с F-статистикой в данном примере соотношением: где и .

Тогда уравнение кривой, ограничивающей доверительную область  для

вектора математических ожиданий с вероятностью γ, определяется следующим образом:          (4).

Уравнение (4) в данном примере определяет эллипс с центром в точке с координатами .

С помощью функции FРАСПОБР ( ) пакета Excel найдем F(0,05;2;48) = 3,2. С помощью математического пакета Mathcad (приложение А)  рассчитаем .

Подставив , , , в левую часть выражения (4) и рассчитав правую часть, получим:

.

Перенесем начало координат в центр  эллипса. Для этого сделаем

замену переменных :

 (5).

Левая часть выражения (5) представляет собой квадратичную форму относительно вектора . Приведем квадратичную форму к каноническому виду. Для этого найдем собственные числа и собственные

вектора матрицы  .

Подставив в выражение (5) вместо вектора произведение

, получаем уравнение эллипсоида  в каноническом виде:  (6).

График эллипса в новой системе  координат построен в пакете Mathcad (приложение А).

Для построения доверительной  области для вектора математических ожиданий в форме прямоугольного параллелепипеда рассчитаем доверительную  вероятность, с которой будем  строить доверительные интервалы  для математического ожидания каждого  признака отдельно:

Для построения доверительного интервала для математического  ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной  дисперсии используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Из уравнения P( t <δ ) = находим где .

Доверительный интервал имеет вид:

С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(α,ν ) пакета Excel находим .

Оценки средних квадратических отклонений рассчитаны в пакете Statistica: ; ; . С вероятностью 0,98 доверительные интервалы для математического ожидания признаков имею вид:

.

 

Тогда с вероятностью 0,95 доверительная область для  вектора математических ожиданий имеет  вид прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке 1.

Рис. 1. График доверительной области в виде прямоугольного параллелепипеда.

3 Проверка  гипотез о параметрах распределения  многомерной генеральной совокупности

Проверим гипотезу о равенстве  вектора математических ожиданий постоянному  вектору . Выдвигаем гипотезы:

,

.

Для проверки гипотезы при неизвестной ковариационной матрице Σ

используется статистика Хотеллинга , закон

распределения которой, при справедливости нулевой гипотезы, связан с распределением Фишера-Снедекора соотношением .

С помощью функции FРАСПОБР( ) пакета Excel найдем F(0,05;3;47) = 2,8. По формуле рассчитаем критическое значение статистики : .

С помощью математического  пакета MathCAD рассчитаем наблюденное значение статистики T²:

.

Так как  , то гипотеза не отвергается.

Проверим гипотезу о  равенстве ковариационных матриц:

Для проверки гипотезы используется статистика ,

 где 

,

 где  и - объем первой и второй выборки соответственно,

Статистика W при справедливости гипотезы имеет распределение

«Хи-квадрат» с числом степеней свободы .

Оценка ковариационной матрицы для генеральной совокупности известна   .

Наблюденное значение статистики W рассчитано в пакете MathCAD:

.

Критические значения статистики W найдем с помощью функции ХИ2ОБР (вероятность, ν) пакета Excel для числа степеней свободы .

Так как неравенство  не выполнено, то нулевая гипотеза отвергается и дальнейшее исследование проводить нецелесообразно.

4 Построение  совместной доверительной области  для мат. ожидания и среднего  квадратического отклонения

Построим доверительный  интервал для  с доверительной вероятностью , для этого используем статистику:

.

Из уравнения  определяем границы интервала , использую функцию :

.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:

.

Построим два доверительных интервала для с доверительной вероятностью , считая, что известно, для этого используем статистики:

Из уравнения  определяем ,

 где  ( ).

Доверительный интервал для мат. ожидания имеет вид:

Интервал, соответствующий  : .

Интервал, соответствующий  : .

Совместная доверительная  область представлена на рисунке 2.

 

Рис. 2. Совместная доверительная  область

 

 

 

Приложение А

Рис. 3 Расчет оценки параметров распределения генеральной совокупности  в пакете Statistica.

Рис.4 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

 

 

 

 

 

 

 

Приложение  Б

Доверительная область в форме прямоугольника

Для построения доверительной  области для подвектора мат. ожиданий в форме прямоугольника рассчитаем доверительную вероятность, с которой будем строить доверительные интервалы для мат. ожидания каждого признака отдельно:

Для построения доверительного интервала для мат. ожидания нормально распределенной ген. совокупности при неизвестной дисперсии используется статистика: , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Из уравнения  = находим где .

Доверительный интервал имеет вид:

С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(α,ν) пакета Excel находим .

Оценки средних квадратических отклонений рассчитаны в пакете Statistica: ; . С вероятностью 0,975 доверительные интервалы для математического ожидания признаков имею вид:

Тогда с вероятностью 0,95 доверительная область для подвектора математических ожиданий имеет вид прямоугольника.

Построим центрированные интервалы для мат. ожиданий:

Совмещенные доверительные области представлены на рисунке 5.

Рис.5. Построение доверительной области для подвектора математических ожиданий при нивелировании признака в форме эллипса и прямоугольника.