Общая характеристика и возможности системы MatLab

[L,U] =lu(A) – разложение произвольной квадратной матрицы А=LU в произведение нижней и верхней треугольных матриц:

» A=pascal (4)

A= 1 1 1 1   1 2 3 4   1 3 6 10   1 4 10 20

» [L,U]=lu(A)

L =

1.000 0 0 0 1.000 2 3 4 1.000 0.667 1.000 0 1.000 1.000 0 0

U =

1.000 1.000 1.000 1.000     0 3.000 9.000 19.000 3.000 9.000 0 0 -1.000 -3.667 3.000 9.000 0 0 0 0.333

         Проанализировав некоторые функции, операции и алгоритм решения систем линейных уравнений в MATLAB, можно предложить варианты решения различными методами.

 

2.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса состоит  из двух этапов: [9]

• Первый этап - это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.
• На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразуют так, бы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n +1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений.

Порядок решения  задачи в MATLAB следующий:

• сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
• сформировать расширенную матрицу системы, объединив и ;
• используя функцию rref, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;
• найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной в предыдущем пункте;
• выполнить вычисление ; если в результате получился нулевой вектор, задача решена верно.

Пример:

A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

b=[2; -1; -2];

C=rref([A b]); %Приведение  расширенной матрицы к треугольному  виду

x=C(1:3,4:4)%Выделение  последнего столбца из матрицы

Результатом будет:

x =

0.5200

0.0800

1.6400

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Для системы из n уравнений с n неизвестными , при условии что определитель матрицы не равен нулю, единственное решение можно представить в виде . Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

• сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
• решить систему, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системы, и вектора свободных членов.

Пример: [9]

Дана система  уравнений:

Решаем на MATLAB:

A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

b=[2; -1; -2];

x=inv(A)*b % Решение  системы x=A^-1b

Результатом будет:

x =

0.5200

0.0800

1.6400

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации

Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду:

x = x - (Ax - b),   - итерационный параметр.

Расчетная формула  метода простой итерации в этом случае имеет вид:

x ⁽ⁿ⁺¹⁾ = x ⁿ -   (Ax ⁿ - b).

Здесь B = E -   A  и параметр   > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину   .

Пусть и - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра   . В этом случае   принимает минимальное значение равное [10].

Пример: [11]

Решить систему Ax=b методом простой итерации A = [3 -2 0; -2 3 0; 0 0 3]; b = [-21;24;15];

e = eig(A);

Вычислим итерационный параметр tau = 2 / (min(e) + max(e));

r = 1;

Выполняем метод  простой итерации с начальным  приближением x0

x0 = [0;0;0];

y = x0;

while r > 100 * eps

x = y - tau * (A * y - b);

r = norm(x-y);

y = x;

end

Проверим полученное значение

A * x - b

>>

ans =

1.0e-013 *

	-0.2842
	0.2487
	0

Решение систем линейного уравнения осуществляется как точными, так и итерационными методами, что было показано при решении данных систем.

 

Заключение

 

           В данной курсовой работе была  рассмотрена одна из наиболее развитых систем компьютерной математики MATLAB. Представлена история создания данной системы, как происходило ее совершенствование, дана характеристика и перечислены некоторые возможности, как первоначальной версии системы, так и новейшей, что показывает насколько усовершенствована система MATLAB. Изучены алгоритм  решения систем линейных уравнений, функции и операции системы для решения задач линейной алгебры.

           Проведя анализ специальной литературы, мы выяснили, что решение осуществляется как точными, так и итерационными методами. Рассмотрели решение систем линейного уравнения несколькими методами, а именно: методами Гаусса, обратной матрицы, простой итерации.

           Таким образом, система MATLAB является одной из наиболее востребованных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       Список использованных источников

 

1. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MATLAB — М.: «Физматлит», 1993

2. Мироновский Л.А., Петрова К.Ю. Введение в MATLAB: Учебное пособие. - СПб.: ГУАП, 2006.

3. Потемкин В.Г. "Справочник по MATLAB" Линейная алгебра

4. http://lib.qrz.ru/book/export/html/1644 

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/MATLAB

6. http://www.ucheba.ru/referats/4452.html

7. http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/lecture14.html

8.http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/book2/doc/%F7%E0%F1%F2%FC%B94.html#p4.8

9. http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/files/matlab2.shtm

10. http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/vvm/theme_6/theory.asp#t4

11.http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/vvm/theme_6/matlab/ex3/ex3.htm