Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы

Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы.

План

1.Определения обратных тригонометрических функций

2.Графики обратных тригонометрических функций

3. Основные формулы

Определения обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном    ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности   sin, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Например, если для синуса   y = sin x,   если ограничить аргумент x интервалом  , то на этом интервле функция   y = sin x   монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арккосинус ( y = arccos x ) это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арктангенс ( y = arctg x ) это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Арккотангенс ( y = arcctg x ) это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения   и множество значений  .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x.

y = arcsin x

 
y = arccos x

 
y = arctg x

 
y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x     при    
sin(arcsin x) = x  
arccos(cos x) = x     при    
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x     при    
tg(arctg x) = x  
arcctg(ctg x) = x     при    
ctg(arcctg x) = x