Натуральные числа

 

 

Содержание

Натуральные числа	3
Аксиомы натуральных чисел	4
Действия над натуральными числами	4
Возведение в степень	4
Правило извлечения квадратного корня из натурального числа	5
Литература	6

 

 

1. Натуральные числа

 

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом. Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:

• подсчёте (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета..).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля.

В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход, то есть ноль не считается натуральным числом [1]. Второй подход встречается у некоторых зарубежных авторов — например, он принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Кроме того, отсчёт начиная с нуля, под влиянием языка программирования Си, широко распространился в информатике (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа  найдётся натуральное число, большее чем n.

Множество натуральных чисел N ∩R обладает следующими свойствами:

1. 1 N
2. Из 1 N следует n + 1 N
3. Если nN, то n - 1 N тогда и только тогда когда n ≠ 1
4. Если М – подмножество N со свойствами а) 1 М   б) из n М следует n + 1 М, то М = N

Свойство 4 выражает тот факт, что таким путем последовательного прибавления получаются все натуральные числа [2].

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль.

 

2. Аксиомы натуральных чисел

 

Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a,b существует отношение «b следует за a» , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Существует число 1, не следующее ни за каким числом, т.е. a /≠ 1 для любого числа а1).
2. Для любого числа а существует следующее число a / и при этом только одно, т.е. из a = b следует a / = b /.
3. Любое число следует не более чем за одним числом, т.е. из a / = b / следует a = b.
4. Аксиома индукции. Любое множество М натуральных чисел, обладающее свойствами:

 А. 1 принадлежит М,

 Б. если число а принадлежит М, то следующее число a / так же принадлежит М

Содержит все натуральные числа , т.е совпадает с N.

Эта аксиоматика натуральных чисел представляет собой лишь несущественное изменение системы аксиом, предложенной в 1891 г. итальянским математиком и логиком Пеано [3].

 

3. Действия над натуральными числами

 

1. Возведение в степень

 

При умножении нескольких сомножителей может встретится случай, когда все сомножители равны между собой: a·a·a·…a = аn (n ≥ 2). Это произведение обозначается символом аn и называется n – й степенью числа a. При n = 1 символ аn определяется равенством аn = а.

Число а - называется основанием степени, а число n - показателем степени.

Действие, с помощью которого находится степень по данному основанию степени и данному показателю степени, называется  возведением в степень.

Степенью натурального числа a называется выражение аn, где a — основание степени (множитель из произведения), n — показатель степени (число множителей в произведении).

Из определения следует, что в множестве натуральных чисел степень an всегда существует и имеет единственное значение [4].

Чтобы вычислить степень натурального числа, нужно основание степени взять столько раз множителем, каков показатель степени.

Произведение одинаковых множителей — это результат возведения в степень натурального числа. Любую степень можно заменить произведением одинаковых множителей. В любом школьном учебнике математики приведены таблицы квадратов натуральных чисел первой сотни. Пользование такой таблицей упрощает вычисления. Для быстрого вычисления лучше выучить наизусть квадраты чисел первого и второго десятков натурального ряд.

 

2. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа

 

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Что бы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящи цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра – первая цифра результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую небольшую цифру х, чтобы произведение числа ах на х не превосходило числа А. Цифра х – вторая цифра результата.
4. Произведение числа ах на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую небольшую цифру у, что бы произведение bу на у не превосходило числа В. Цифра у – третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается когда достигается требуемая точность. [5]

 

Литература

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — 560 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
3. П.С. Александрова А.И. Маркушевич А.Я. Хинчина Энцикопедия элементарной математики. Том I. Арифметика. М.: 1951 442 с
4. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика (алгебра и элементарные функции). Учеб. Пособие. М, «Высш. Школа», 1976. 271 с.
5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.