Нагруженные уравнения и их связь с нелокальными операторами

План 

1. Определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов
2. Понятия нагруженного функционального и интегрального уравнений.
3. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений.
4. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений уравнений математической физики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов.

В работах [1], [2], [3] даны общие определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов.

Заданное в n-мерной области Ω евклидова пространства точек (матричное или скалярное) уравнение

                                                                               (1)

называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и(х) на принадлежащих замыканию области Ω многообразиях, размерность которых строго меньше п. Входящий в это определение оператор А принято называть нагруженным [4], [5].

Пусть: L - оператор, область определения D(L) которого представляет собой множество отображений и с единой областью определения D(u);  µ - множество операций µ_α с D(µ_α)=D(L); - композиция отображений µ_α и и.

Оператор L с областью определения D(L) в работе [5, с. 61] назван локальным в D(u) относительно множества операций µ, если для любого отображения образ любой точки при отображении однозначно определяется значением и(х) отображения и на элементе х или же значениями µ_αи(х) операторов на этом же элементе х.

Оператор А называется нелокальным относительно множества операций µ, если он не является локальным относительно µ.

Нагруженный оператор. А является нелокальным оператором, а нагруженное уравнение (1) - нелокальным уравнением.

 

 

 

 

2. Понятия нагруженного функционального и интегрального уравнений.

Пусть: - действительная функция точек и действительных переменных , которая зависит хотя бы от одной из переменных z_j,

- отображение множества на множество и(х) - действительная функция точек ; - принадлежащее множеству Ω многообразие размерности j < п, j = 0,1,...

Уравнение

=0,

где , … , , … , =^u |ω₀, =^u |ω₁,…, =^u |ω_j,… называется нагруженным функциональным уравнением относительно функции   и = и(х).

Простейшие  нагруженные функциональные уравнения возникают при отыскании приближенного решения и(х) интегрального уравнения вида

            

методом конечных сумм, когда полагают

где - узлы квадратурной или кубатурной формулы. В результате для искомого приближенного решения и(х) получают уравнение

которое, очевидно, является частным случаем более общего нагруженного функционального уравнения

где G(x), и f(x) - заданные в функции; - заданное отображение замыкания   множества Ω на компакт

Если в левой  части уравнения (2) произвести возмущение, добавив линейную комбинацию значений искомого решения и(х) в фиксированных точках компакта , то получим классический пример нагруженного интегрального уравнения

Если существует хотя бы одна точка такая, что , то уравнение (3) называется локально нагруженным интегральным уравнением третьего рода. Уравнение (3) принято называть локально нагруженным интегральным уравнением первого или второго рода, в зависимости от того, или для всех .

Линейным одномерным (локально) нагруженным интегральным уравнением Вольтерра называется уравнение вида

где - заданные фиксированные точки сегмента ; λ - заданный постоянный параметр; и     f(x) - заданные непрерывные на сегменте функции.

Уравнение

для резольвенты  ядра интегрального уравнения Фредгольма второго рода

представляет  важный пример нагруженного интегрального  уравнения.

     Уравнение (4) классифицируется по родам, как и n-мерное нагруженное уравнение (3).

     Положим, что n = 2иΩ - область на евклидовой плоскости - кусочно-гладкие линии, принадлежащие . Линейным двумерным нагруженным интегральным уравнением третьего рода называется уравнение вида [5, с. 93]:

где - элемент длины кривой в точке - след искомого решения и(х) на многообразиях размерности - действительные суммируемые функции точки - действительная и суммируемая функция точки

К нагруженным  интегральным уравнениям относятся интегральные уравнения, задаваемые операторами с частными интегралами, называемые в монографии [6] интегральными уравнениями с частными интегралам

Одним из вариантов уравнения (5) является нагруженное интегральное уравнение второго рода:

где - заданные измеримые в соответствующих областях функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Критерию фредгольмовости  уравнения (6) в пространстве непрерывных  функций посвящена работа [7].

Другим важным вариантом уравнения (5) служит одномерное нагруженное интегральное уравнение типа интегральных уравнений Кнезера

Здесь, как и  ранее, х³ - заданные фиксированные точки сегмента 

  (см. [8], [9, с. 170]).

Если

то уравнение (7) равносильно уравнению

где черта над  интегралом означает, что интеграл понимается в смысле Кнезера [9, с. 169]:

Частный случай уравнения (7), которое можно записать в виде

исследован  в 1948 году Н.Н. Назаровым [8] в предположении, что к(х, у) обладает обычными свойствами ядра интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода.

Пусть

     Тогда легко заметить, что уравнение (10) равносильно интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

Этот факт имеет  место для общего уравнения (7), если

          Если коэффициенты уравнения (7) не зависят от х, то условие (13) можно заменить условием

Существенность условия (14), стало быть, и (13), продемонстрируем на следующих двух примерах.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

которое получается из (10), когда и

Уравнение (15) с  симметричным ядром  эквивалентно уравнению

 

с краевым условием

При уравнение (15) имеет только тривиальное решение и(х) = 0. Когда , оно в точке х = 0 вырождается в интегральное уравнение Фредгольма первого рода

выступающее в роли нелокального краевого условия для уравнения (16). Если то из принципов экстремума (Хопфа, Зарембы-Жиро) для уравнения (16) следует, что задача Штурма-Лиувилля (16)-(17) имеет лишь тривиальное (нулевое) решение.

Пусть Тогда из общего решения уравнения (16) в силу (17) заключаем, что уравнение (15) имеет нетривиальное решение и(х) тогда и только тогда, когда µ является корнем уравнения Если же, то в качестве такого уравнения выступает уравнение которое при а > 0 не может иметь корня. В исключительном случае, когда и, стало быть, нарушено условие (11), уравнение (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда µ - корень уравнения

Пример 2. Рассмотрим уравнение (10) с вырожденным ядром                   непрерывным в квадрате 0 < х,у < 1.

Пусть для любой  функции символы и определены по формулам

Тогда рассматриваемое  уравнение, после умножения обеих  его частей на и применения операции интегрального усреднения, дает основание записать

Отсюда получаем, что если

то

а если же

то

Из (18)—(21) заключаем: если то исследуемый вариант уравнения (10) эквивалентен уравнению Фредголъма второго рода

если  соблюдено условие (20), то оно сводится к нагруженному функциональному уравнению

которое однозначно разрешимо тогда и  только тогда, когда

Здесь уместно отметить работу Х.М. Карова [10], где через интеграл Римана-Стильтьеса в банаховом пространстве определен оператор, сопряженный оператору

и в случае, когда λ - характеристическое число уравнения (7) с непрерывным в квадрате ядром к(х,у), с коэффициентами и свободным членом f(x) из найдено необходимое и достаточное условие его разрешимости в пространстве

Следует обратить внимание (см. [11], [12], [13, с. 148]), что собственные  колебания нагруженной среды сводятся к нагруженному интегральному уравнению, которое эквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стильтьеса и Стильтьеса-Радона. Интегралам Стильтьеса-Радона и общей теории интегральных уравнений посвящены основополагающие работы Н.М. Гюн-тера [11], [12].

Пусть теперь

  для любого j = 1,2,...,n. Тогда широкий класс нагруженных интегральных уравнений типа Вольтерра образуют уравнения следующих видов:

 

Здесь, как и  ранее, - искомое решение,

  фиксированные точки из и соответственно.

Уравнение (22) при принимает вид:

    Если же то из (22) или (23) переходим к уравнению

К уравнению (24) примыкает и уравнение с двумя  переменными пределами:

          Известно (см., например, [9, с.146]), что если ядро

где - непрерывная в квадрате функция, то для любой функции существует единственное решение уравнения (24), которое может быть получено методом последовательных приближений.

Заслуживают внимания и нагруженные интегральные неравенства, получаемые из (22) после замены знака = на знак <. Работа [14] посвящена неравенству вида

 

 

3. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений.

Нагруженное уравнение (1) называется нагруженным дифференциальным уравнением в области если оно содержит хотя бы одну производную от искомого решения и(х) на принадлежащих многообразиях ненулевой меры.

Общее определение  нагруженных дифференциальных операторов (уравнений) дано в работе [1]. Как заметил И.С. Ломов [15], это определение включает как подкласс и дифференциальные граничные операторы. A.M. Krall [16] дифференциальными граничными операторами

назвал (обыкновенные) дифференциальные операторы L, содержащие в дифференциальном выражении Lu неизвестную функцию и в фиксированных точках интервала. А.Д. Искендеров в работах [17], [18] нагруженным дифференциальным уравнением называл «дифференциальное уравнение, в которое входят также значения искомой функции и ее производных в фиксированных точках области его задания.

Многие явления в сложных  эволюционных системах с памятью  существенно зависят от предыстории  этой системы. Эти явления, как правило, описываются нагруженными дифференциальными уравнениями, например, уравнениями следующих видов:

которые Волътерра назвал интегродифференциалъными уравнениями эллиптического, гиперболического и параболического типов соответственно. Здесь - оператор Лапласа по

  - заданные суммируемые функции.

        Пусть - фиксированные точки сегмента и функция при решения и = u(x,t) уравнения (26) таковы, что

для любого Тогда уравнению (26) можно придать следующий вид:

       Если же положить ядро где Г(z)- гамма-функция Эйлера, и ввести выражение

то из (26) получим  следующее модельное нагруженное  уравнение параболического типа:

Входящее в (27) интегродифференциальное выражение известно как производная дробного порядка α от u(x,t) по t в смысле Капуто. В общем случае действие оператора на функцию и(х, t) определяется следующей формулой:

 

Уравнение (27) при α>2 и более общее уравнение

где относятся к классу существенно нагруженных или спектралъно-нагруженных дифференциальных уравнений по терминологии М.Т. Дженалиева и М.И. Рамазанова [19].

Когда уравнение (28) записывается в виде

При уравнение (29) редуцируется к уравнению

 

Если µ не зависит от х, то уравнение (30) эквивалентно следующей системе нагруженных уравнений:

Очевидна существенная взаимосвязь нагруженных дифференциальных уравнений и обратных задач. Это хорошо прослеживается на простом примере обратной задачи для уравнения

в полуполосе 0 < t < Т, х > 0 евклидовой плоскости точек (x,t), которая состоит в отыскании функции и функции и = u(x,t), удовлетворяющих, наряду с условием Тихонова при , следующим условиям: где - заданные функции из классов соответственно, Нетрудно видеть, что обратная задача редуцируется к прямой задаче

для следующего спектрального нагруженного уравнения параболического типа:

с условием А.Н. Тихонова

А.И. Кожанов [20]-[22] развил математическую технологию, основанную на переходе от обратной задачи к новой прямой краевой задаче для нагруженного уравнения с частными производными.

Важным примером нагруженных дифференциальных уравнений является стационарное односкоростное уравнение переноса [23]

в фазовой области Здесь обозначает плотность частиц, летящих в направлении              из точки - заданная в области Ω положительная и ограниченная функция, характеризующая поглощение среды; λ - спектральный параметр; Θ(x,y,ξ) и F(x,y) - заданные функции.

В прямоугольной  области евклидовой плоскости R² рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными действительными функциями