Наглядность на уроках математики

 

Поэтому для овладения операцией счета, прежде всего, необходимо запомнить порядок слов-числительных, которым договорились пользоваться при счете.

Деятельность, связанная с усвоением порядка слов-числительных, естественно, выполняется по образцу и закрепляется в процессе однотипных упражнений, начинающихся со слова: «Сколько ...?» Начинать выполнять эти упражнения полезно как можно раньше (с 3 - 4 лет), постепенно увеличивая количество пересчитываемых предметов. В этом случае ребенок сможет непроизвольно запомнить последовательность слов-числительных.

Большинство детей шестилетнего и семилетнего возраста, поступающих в школу, уже владеют этим навыком, хотя ошибки возможны. Например, после числа семь называется число девять, после трех называется пять и т. д.

Этот факт, конечно, необходимо учитывать, организуя деятельность учащихся в школе. Но для этой цели следует использовать уже не только упражнения, начинающиеся со слова «Сколько ...?», а включать учащихся в разнообразную деятельность, связанную с осознанием операции счета и с введением математических символов (цифр).

Для усвоения и уточнения порядка слов-числительных при счете можно использовать различные формулировки заданий. Например:

1) Что изменилось? Что не изменилось?

Анализируя рисунки с различных точек зрения (ориентируясь на их различные признаки), учащиеся фиксируют изменения не только цвета, размера, формы, но и отмечают тот факт, что количество квадратов не изменилось. Для проверки данного высказывания используется счет квадратов.

2) Чем похожи рисунки? Чем отличаются?

В качестве признака сходства выступает количественная характеристика. (Число предметов на одном и другом рисунке - четыре). Изменился их порядок. Для характеристики этого изменения дети могут использовать не только понятия «за», «перед», «между», но и порядковые числительные (ножницы на левом рисунке - первые, а на правом - третьи), а также упражнения в счете предметов.

3) Хватит ли мишкам орехов, если:

а) каждому мишке дать по одному ореху;

б)  каждому мишке дать по два ореха;

в)  каждому мишке дать по три ореха.

Чтобы выполнить задание, дети устанавливают соответствие между каждым мишкой и определенным количеством орехов (один, два, три). Для этого лучше использовать фланелеграф, с которого ученики могут одновременно снимать мишку и соответствующее число орехов.

4) По какому признаку подобраны  пары картинок?

Анализируя картинки с точки зрения различных их признаков (цвет, форма, количество изображений), учащиеся также упражняются в счете. В процессе выполнения приведенных упражнений уточняется порядок словчиспитепьных, используемых при счете.

При этом все дети могут принимать активное участие в работе, в том числе и те, кто не усвоил порядок слов-числительных до школы или допускает в нем ошибки.

Таким образом, операция счета сводится к нумерации данных объектов в определенной последовательности. В данном случае речь идет об устной нумерации, т. е. установлении взаимно-однозначного соответствия между каждым объектом данной совокупности и словами-числительными, которые называются в определенном порядке.

Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет учителю перейти к формированию операции счета и к знакомству учащихся с символическим обозначением каждого числа (цифрами). При этом не обязательно ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду. Можно, например, сначала научиться писать цифру 4, затем 1, затем 6, 9 и т. д. Осознание различия между числом и цифрой при изучении однозначных чисел является довольно сложной задачей для ребенка, да и сам учитель в некоторых случаях испытывает затруднения, связанные с употреблением этих терминов. Например, на доске написано: 5. Что это -цифра или число?

При такой постановке вопроса трудно ответить однозначно, так как это может быть и число пять, если речь идет о пяти каких-то предметах, но может быть и цифра, обозначающая число пять. Но если учитель предлагает такие задания, как: «Запишите цифры от 1 до 10» или «Запишите данные цифры по порядку», то это является уже грубой ошибкой с его стороны. Для избегания таких ошибок полезно ориентироваться на схему:

Рекомендуем также познакомить учеников с другими обозначениями некоторых чисел. Например, с римскими цифрами:

Это поможет младшим школьникам дифференцировать такие понятия, как «число» и «цифра». Так как каждому предмету группы ребенок ставит в соответствие определенное слово-числительное, то в процессе счета он легко осознает порядковую характеристику числа, которая находит свое выражение в словах: первый, второй, третий... Гораздо труднее довести до его сознания тот факт, что каждое число, названное при счете, является одновременно и порядковым, так как указывает на порядок предмета при счете, и количественным, так как указывает на количество всех перечисленных предметов. Для осознания взаимосвязи между количественным и порядковым числом советуем использовать специальные практические упражнения. Например, учитель показывает детям полоску с кружками и, указывая на последний, говорит:

- Это пятый кружок.

-  Кто может сказать, сколько  кружков нарисовано на полоске? (Пять.)

Полоска появляется на доске, и к ней добавляются еще несколько кружков.

- Сколько теперь кружков? - спрашивает  учитель.

Действия ребенка сводятся к следующему: он показывает начало и конец полоски, содержащей пять кружков.

- Это пять кружков, - говорит  он.

Затем, не отрывая левой руки, перемещает правую на один кружок и называет число «шесть», затем, опять же не отрывая левой руки, передвигает правую еще на один кружок и называет число «семь», и т. д. Не менее важно с математической точки зрения, чтобы в процессе выполнения практических упражнений дети осознали и тот факт, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» всегда будет однозначным, важно только начинать нумерацию с числа 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды.

Для этого можно использовать специальные упражнения. Например, работая с приведенным ниже рисунком, учитель может предложить детям следующие вопросы:

- Посчитайте, сколько кругов на  рисунке. (Так как они могут  поставить слово-числительное «один»  в соответствие любому кругу, то, естественно, «четвертым» может  также оказаться любой круг.)

- Какой круг по счету четвертый? (Большинство уверенно показывает  на какой-то определенный круг.) Тогда учитель задает наводящие  вопросы:

-  Может ли синий круг быть  четвертым? Красный? Желтый? (Ответы  проверяются счетом.)

-  Какой круг может быть  четвертым, если первый - зеленый, второй - желтый? (Ответы проверяются счетом.)

-   Какой круг может быть  четвертым, если первый синий? (Ответы  проверяются счетом.)

- Какое число мы назвали последним, отвечая на вопрос: «Сколько?»

Данное задание можно усложнить, предложив учащимся большее число кругов, расположенных так, как показано на рисунке:

Счет кругов при таком расположении создает определенные трудности для некоторых детей. Поэтому ответ на вопрос: «Сколько...?» может быть различным. Для проверки ответа можно вызвать ученика, владеющего последовательностью слов-числительных, и при этом усложнить задачу:

- Считай круги так, чтобы красный  круг был четвертым.

-  Теперь сосчитай круги так, чтобы красный круг был третьим, синий - пятым, зеленый - восьмым.

Пересчитав различными способами все круги, дети убеждаются в том, что их число остается постоянным, а следовательно, одному и тому же конечному множеству может соответствовать лишь одно натуральное число. (Данный термин, конечно, не стоит использовать в начальном курсе математики.)

Таким образом, в основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит счет предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данного множества («количественное число»). С другой стороны, число как общая характеристика класса эквивалентных множеств осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы: «Больше?», «Меньше?», «Столько же?» - могут быть получены как способом пересчитывания, так и способом установления взаимно-однозначного соответствия. Эти способы используются параллельно, дополняя друг друга.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете («порядковое число»). Порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны.

Овладение учащимися операцией счета предполагает усвоение порядка слов-числительных, используемого при счете, и определенных правил: первым при счете может быть указан любой объект данной совокупности, важно только, чтобы ему соответствовало числительное «один»; ни одному объекту нельзя поставить в соответствие два слова числительных; ни один объект не должен быть пропущен при счете.

Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1

Замена слов-числительных (один, два, три и т. д.), названных в определенной последовательности, математическими знаками (цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д.) позволяет познакомить школьников с отрезком натурального ряда.

Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению учащимися той закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше следующего на 1.

В соответствии с этим подходом последовательно рассматриваются отрезки натурального ряда чисел: 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4, 5; и т. д. до 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом на каждом отрезке натурального ряда выполняются однотипные упражнения. Например, «при изучении чисел 1-4 проводится такая работа:

- Положите 2 круга, ниже положите  столько же треугольников, придвиньте  еще 1 треугольник. Сколько стало  всего треугольников? Как получили 3 треугольника? Каких фигур больше: треугольников или кругов? На сколько больше?

- Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько у вас лежит треугольников. Что надо сделать, чтобы квадратов стало больше на 1? Сколько стало квадратов? Как получили 4 квадрата?

- А если к трем флажкам  присоединить еще 1 флажок, сколько  станет флажков? Если к 3 ученикам  подойдет еще 1 ученик, сколько их всего будет? Если к числу 3 добавить число 1, какое число получится? Запишем это разрядными цифрами: 3+1=4.

- Положите 4 кружка, ниже положите  столько же квадратов, уберите 1 квадрат. Сколько получилось квадратов? Как  получили 3 квадрата? и т. д.»1.

«Обобщая несколько раз выполненные операции удаления части множества (из 4 флажков убирают 1 флажок, от 4 учеников отходит 1 и т. д.), формулируют вывод: из числа 4 вычесть число 1, получится число 3. Появляется соответствующая запись:  4-1=3»2.

Аналогичная работа проводится при изучении ряда чисел 1-5, 1 -6, 1 -7 и т. д.

В результате выполнения однообразных упражнений на каждом отрезке натурального ряда чисел, связанных с получением следующего и предыдущего числа (5+1 = б, 6-1 = 5, 6+1 = 7, 7-1 = 6), «дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше его на 1, после числа 2 идет число 3, которое больше его на 1, перед числом 4 называют число 3, которое меньше его на 1, и т. д. ».

Получая следующее число, учащиеся знакомятся с соответствующей цифрой. Одновременное введение нового числа в отрезке натурального ряда и цифры, его обозначающей, затрудняет осознание различий между понятиями «число» и «цифра».

Запись равенств выполняют по образцу и никак не соотносят их с понятиями арифметических действий сложения и вычитания.

Понятия «больше на», «меньше на» используются только для случаев присчитывания и отсчитывания по единице.

Рассмотрим другой подход, при котором дети переходят от счета предметов к записи цифр. В этом случае можно сначала научиться писать цифру 1, затем 4, 6, 9 и т. д., используя для определения количества счет. Составной частью этого подхода является целенаправленная работа по формированию у детей представлений о количественном и порядковом числе и сознательное освоение операции счета. После того, как они научатся писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весь отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9. Для этой цели детям дается задание:

-  Посчитай слоников. Запиши цифрами числа, которые ты называешь.

- Проверь, получился ли у тебя  такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

- Подумай, как ты получил каждое  следующее число. Ответы детей  могут быть различными: «Я считал  слоников»,

«Один слоник, еще один - два слоника, еще один - три слоника; еще один слоник - четыре слоника и т. д.». Таким образом, нумеруя слоников, дети получают отрезок натурального ряда чисел.

Не следует вводить термин «отрезок натурального ряда». Записанный ряд чисел воспринимается ребенком как ряд, с помощью которого можно посчитать предметы. А приведенная характеристика получения следующего числа (еще один, еще один, еще один, еще один...) отражает на предметном уровне то существенное, что связано с его построением.