Модель Солоу с производственной функцией Кобба - Дугласа

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

 И ГОСУДАРСТВЕННОЙ  СЛУЖБЫ 

при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

 

Красногорский филиал

 

 

 

Факультет Красногорский филиал

Направление подготовки 081100.62 «Государственное и муниципальное упроавление»

Кафедра Математики и информационных технологий

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Модель Солоу с производственной функцией Кобба - Дугласа»

 

 

Автор работы:

студент 2 курса

Мирошниченко Константин

Евгеньевич

 

Руководитель:

к.ф. – м.н., доцент

Волков Георгий Андреевич

Оценка_____________

Подпись__________________

 

 

 

 

 

Красногорск 2013г.

Оглавление

 

 

Введение

В своей курсовой работе я рассмотрел с двух сторон неоклассическую модель роста Роберта Солоу: как модель, которая требует математического анализа, и как модель отражающую экономические законы. В современном экономическом словаре, экономическому росту, дается следующее определение: «Экономический рост – увеличение масштабов совокупного производства и потребления в стране, характеризуемое, прежде всего, такими макроэкономическими показателями, как валовой национальный продукт, валовой внутренний продукт, национальный доход1».

Экономический рост – является одной из важнейших целей для любой страны, в том числе и для Российской Федерации, к слову, именно в  нашей стране, эта проблема весьма актуальна. Исходя из этого, увеличение темпов экономического роста, является одной из важнейших задач экономической политики страны, а выполнению поставленных задач, способствуют разнообразные модели экономического роста, одной из которых является модель Солоу. Экономический рост сопровождает целый ряд количественных и качественных изменений в жизни общества, главенствующим изменением, является структурная трансформация экономики. Существует два основных пути экономического роста. Так, интенсивный путь предполагает экономический рост за счет повышения и совершенствования эффективности использования факторов производства. В то время как экстенсивный путь берет за основу простое количественное увеличение факторов производства без какого либо качественного изменения. Модели роста, также как и любые другие модели, представляют собой упрощенное, абстрактное выражение реального экономического процесса в форме графиков или уравнений.

В модели Солоу, главной задачей являются ответы на следующие вопросы: как прийти к экономическому равновесию, какие параметры экономической системы задает экономика для достижения определенного темпа роста, каковы факторы сбалансированного экономического роста, и как при этом максимизировать доходы населения и объемы потребления.

Модель является основой, с помощью которой предоставляется возможность провести анализ одного из главных вопросов экономики: какую часть произведённого продукта должны потреблять сегодня, а какую его часть необходимо сберегать для использования в будущем. Оценка разных вариантов политики требует взвешивания всех издержек и выгод выбора того или иного уровня сбережений2.

Данная курсовая работа поможет понять по каким причинам изменяется национальный доход во времени, а также различия этого показателя в разных странах. Капитал и труд (факторы производства), а также технология производства рассматриваются в качестве источников производства и, исходя из этого, дохода. Именно поэтому различия в доходе определяются различиями в капитале, труде и технологии.

Итак, в модели экономического роста Солоу в роли источников экономического роста выступают: технологический прогресс, рост населения и накопление капитала. Мое исследование посвящено влиянию каждого источника на предоставление высокого уровня жизни, увеличение масштабов производства и потребления в стране, то есть на экономический рост.

 

Глава 1. История появления неоклассической модели экономического роста Р. Солоу

Модель Солоу, а если точнее, модель экономического роста Солоу, была названа в честь одного из американских экономистов, Роберта Солоу и разработана была в 1950-1960 годах. В первые, свою модель экономического роста, Роберт Солоу, описал в 1956 году в работе «Contribution to the Theory of Economic Growth», и по сей день она остаётся главной теоретической базой для анализа связей между накоплением капитала, технологическим прогрессом, ростом населения и экономическим ростом. За свои работы Роберт Солоу был удостоен в 1987 году Нобелевской премии. Он автор многих фундаментальных работ по проблемам экономического роста, по теории капитала, прибыли и безработицы. Солоу признан в научных кругах не только своей страны, но и за рубежом, является почетным членом многих академий и университетов.

Следует отметить, что в 1920-1950 годах для описания реальных процессов экономического роста, использовали кейнсианские модели Харрода и Домара. Кейнсианские модели экономического роста это модели, в которых используются кейнсианские предпосылки и методы анализа экономической конъюнктуры в коротком периоде с целью описания экономических процессов в долгосрочном периоде3. Е. Домар и Р. Харрод смогли построить простейшую модель экономического роста, независимо друг от друга. Эта модель полностью соответствовала кейнсианской концепции функционирования национальной экономики. Но в те времена, это была не единственная модель экономического роста, также известна кейнсианская модель Калдора. Но, со временем, для более поздних наблюдений стали использовать неоклассическую модель экономического роста Роберта Солоу.

 

Глава 2. Экономическое и математическое содержание модели

Модель экономического роста Роберта Солоу, характеризуется следующими свойствами неоклассических моделей экономического роста4:

• предположение о функционировании экономики в условиях совершенной конкуренции, которая обеспечивает гибкую систему цен и равенство цен факторов производства их предельной производительности;
• отсутствие функции совокупного спроса, так как гибкая система цен каждый раз приравнивает объём совокупного спроса к объёму совокупного предложения;
• отсутствие функции инвестиций, потому как при равновесии на рынке благ I=S (инвестиции равны сбережениям);
• представление технологии в виде производственной функции с взаимозаменяемыми факторами производства и постоянным эффектом масштаба.

Роберт Солоу показал, что в кейнсианских моделях, следствием невзаимозаменяемости факторов производства, была нестабильность динамического равновесия. В своей модели Роберт Солоу использовал производственную функцию Кобба-Дугласа5, в этой функции капитал и труд являются субститутами. Также есть и другие предпосылки анализа модели Солоу6: постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов, убывающая предельная производительность капитала, Возможность взаимозаменения факторов объясняется не только условиями технологии, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов производства.

Анализируя модели я использовал технику, позволяющую описать изменения экономики во времени, сделать анализ не статическим, а динамичным.

Неоклассическая модель экономического роста Роберта Солоу показывает, как рост населения, технологический процесс и рост населения, оказывают воздействие на рост объёма производства во времени.

2.1 Накопление капитала

2.1.1 Производственная функция и функция потребления в модели Солоу

Для начала мы проведем анализ того, как спрос и предложение товаров определяют параметры процесса накопления капитала. Для этого считаем неизменными используемую технологию и объем трудовых ресурсов. По мере продвижения анализа мы откажемся от этих допущений, чтобы сделать анализ более реалистичным: сначала будет изменяться объём трудовых ресурсов, а затем и технология.

В неоклассической модели Солоу важную роль играют предложение и спрос на рынке произведённой продукции. Предложение позволяет определить объём производства в каждый момент времени, а спрос позволяет определять распределение продуктов производства между различными направлениями использования.

Предложение товаров в модели экономического роста Солоу описывается с помощью следующей производственной функции:

Y = F (K, L)

Исходя из этого можно понять, что объём производства напрямую зависит от запасов капитала и используемого труда. Также производственная функция имеет свойство постоянной отдачи от масштаба:

zY = F (zK, zL),

где z – любое положительное число.

 

Для простоты соотнесём все величины с количеством работников. Примем z = 1/L. Тогда получим:

 

Y/L = F (K/L, 1)

 

Это уравнение позволяет нам увидеть следующее: объём производства в расчёте на одного работника (Y/L) является функцией капитала на одного работника (K/L). Обозначим: y = Y/L – выпуск продукции на одного работника, а k = K/L – капитал, приходящийся на одного работника, то есть капиталовооружённость. Тогда производственную функцию можно записать как

y = f (k),

где f (k) = F (k, 1). Эта производственная функция изображена на рисунке 2.1.1

Рисунок 2.1 Производственная функция7

 

По графику производственной функции можно увидеть, как капиталовооружённость k позволяет определить размер выпуска продукции на одного работника y = f (k). Тангенс угла наклона графика равняется предельной производительности капитала: y возрастает на МРК единиц, если k увеличивается на единицу.

В модели Солоу спрос на товары предъявляется со стороны инвесторов и потребителей:

 

y = c + i

 

Модель предполагает, что функция потребления принимает следующую форму:

 

с = (1 – s)y,

 

где s – норма сбережения. Отсюда

С помощью этого уравнения мы видим, что инвестиции пропорциональны доходу (как и потребление). Если сбережения равны инвестициям, норма сбережений таким же образом показывает, какую часть продукции направляют на капитальные вложения.

2.1.2 Устойчивый уровень капиталовооружённости

Продемонстрировав две главные составляющие модели Солоу – функцию потребления и функцию производственную – можно провести анализ, как экономический рост зависит от накопления капитала.

 

Запасы капитала изменяются по двум причинам:

1. Инвестирование приводит к росту запасов капитала.
2. Часть капитала амортизируется, что приводит к уменьшению его запасов.

Так как i = sy, то

 

i = sf (k)

 

Чем больше увеличивается уровень капиталовооружённости k, тем больше увеличивается объём производства и объем инвестирования.

Чтобы учитывать в модели амортизацию, можно предположить, что каждый год выбывает определённая доля капитала δ. δ – норма выбытия. Исходя из этого, количество капитала, который выбывает за год, составит δk.

Выразим влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала:

 

Δk = i – δk,

 

где Δk – изменение запасов капитала на одного работника. Иначе говоря:

 

Δk = sf(k) – δk.

 

На рисунке 2.2 мы видим, что существует единственный уровень капиталовооружённости, при котором инвестиции равны величине износа. Если в экономике достигли именно такого уровня, то он не изменится во времени. При показанном уровне капиталовооружённости Δk = 0. Такую ситуацию называют состоянием устойчивой капиталовооружённости k*.

 

 

Рисунок 2.2 Инвестиции, выбытие и устойчивый уровень капиталовооружённости.

 

При k<k* инвестиции превышают выбытие, а запасы капитала увеличиваются, при k>k* инвестиции меньше выбытия, и запасы уменьшаются.

Устойчивый уровень капиталовооружённости соответствует равновесию экономики в долгосрочном периоде. Она достигает устойчивого состояния независимо от первоначального объёма капитала.

Рисунок 2.3 демонстрирует последствия изменений, при возрастании нормы сбережений.

Рисунок 2.3 Рост нормы сбережений

 

Допустим, экономика начинает свое развитие, в устойчивом состоянии при норме сбережений s1 и запасах капитала k1*. Норма сбережений возрастет до s2, и вызовет соответствующий сдвиг вверх кривой sf(k). Сразу после увеличения нормы сбережений инвестирование увеличивается, но запас капитала и, конечно же, выбытие остаются неизменными до определенного момента. В итоге инвестирование компенсирует выбытие капитала. Капитал будет постепенно увеличиваться до тех пор, пока экономика не придет к новому устойчивому состоянию k2* с большей капиталовооружённостью и увеличенной производительностью труда.

Неоклассическая модель экономического роста Солоу показывает нам следующее: норма сбережений ключевая детерминанта величины устойчивой капиталовооружённости. Если эта норма более высока, то экономика  имеет больший запас капитала и более высокий уровень производства. Увеличение нормы сбережений обеспечивает рост экономики, до достижения ею, нового устойчивого состояния. Если в экономике поддерживается высокая норма сбережений, то и производительность, и капиталовооруженность будут на высоком уровне, но сохранять высокие темпы экономического роста вечно не возможно8.