Многоугольники на решетках

Итак,  φ(n) ≤4.

На основе формулы f(n) = n

получаем: n ϵ {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}.

Тот факт, что ни при каком D правильные пятиугольник и десятиугольник нельзя расположить на K(D), следует  из того, что числа

tg 2π/5 = √(10+2√5)/(√5-1) , tg 2π/10 = tg π/5 = √(10-2√5)/(√5+1) не содержатся в Q(√D), так как они являются алгебраическими числами степени 4 .

Так как cos(π/4) = √2/2 ϵ Q(√D), то это возможно только при D = 2, т. е. правильный восьмиугольник можно расположить лишь на K(2). Тем самым доказан пункт г).

Аналогично , из равенств tg 2π/3 = - √3, tg π/3 = √3, tg π/ 6 = √3/3 следует, что если tg(π/6), tg(π/3) или tg(2π/3) лежит в Q(√D), то D = 3.

Другими словами, если на K(D) можно расположить (правильные) треугольник, или шестиугольник, или двенадцатиугольник, то с необходимостью D = 3.

Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось заметить, что, рассмотрев окружность радиуса 1 c центром в начале координат и вписав в нее в одном случае восьмиугольник, а в другом случае — двенадцатиугольник (у которых одна вершина совпадает с точкой (1, 0)), мы завершим доказательства утверждений б) и в). Теорема 2.4 доказана.

Замечания. 1. Из правила параллелограмма на K(3) следует, что если это множество содержит только правильный треугольник, то оно обязательно содержит и правильные шестиугольник и двенадцатиугольник. Более того, если на K(3) можно расположить любой из этих трех многоугольников, то там содержатся и два других.

2.( И. Седошкин и Е.Мычка) : На каждой из правильных плоских мозаик (паркете), т. е. покрытии плоскости при помощи правильных многоугольников (быть может, разных типов), можно расположить только такие правильные многоугольники, которые «видны невооруженным глазом», т. е.составляющие мозаику многоугольники и их простейшие комбинации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Полуправильные  многоугольники

 

 

Расширим класс рассматриваемых  многоугольников, а именно рассмотрим множество равноугольных (равносторонних) многоугольников — таких, у которых  все внутренние углы (все стороны) равны, но стороны (внутренние углы) могут  и отличаться друг от друга; пересечение  этих множеств составляет множество  правильных многоугольников. Подчеркнем, что в этих определениях ничего не говорится о выпуклости этих многоугольников. Примерами равноугольных многоугольников, расположенных на решетке, служат квадрат  и восьмиугольник (рис. 3.1 а). Частные случаи равносторонних многоугольников

изображены на рис. 3.1 б.

Для этих двух классов также  удается полностью изучить вопрос об их расположении на решетке Z².

Рис. 3.1

 

 

Теорема 3.1[1]. 1. Из всех возможных равноугольных многоугольников на решетке Z² можно расположить только прямоугольник и восьмиугольник.

2. Среди всех равносторонних  многоугольников на решетке Z² можно расположить многоугольник с любым четным числом сторон и нельзя расположить ни одного многоугольника с нечетным числом сторон.

Доказательство. 1. Будем считать, что n > 4, так как случай правильного треугольника уже подробно рассматривался ранее. То, что квадрат и равноугольный восьмиугольник можно расположить на решетке, видно из   рис. 3.1 a. Пусть теперь n > 4 и равноугольный n-угольник можно разместить на решетке Z². Тогда векторы, которые формируют его стороны, имеют целочисленные координаты (рис. 3.2) и угол между любыми двумя соседними векторами равен 2π/n.

Рис. 3.2

 

Будем считать точку O началом  координат; тогда угол между лучами [OP) и [OQ) равен 2π/n и tg(2π/n), как мы видели выше (указанные лучи проходят через узлы решетки), должен быть при n > 4 рациональным числом. А это, возможно только в том случае, когда n = 8; этим доказательство п. 1 теоремы заканчивается.

Для доказательства второго  утверждения будем поочередно делать две операции: добавлять к построенному многоугольнику квадрат и заменять квадрат на шестиугольник, равный исходному. Будем считать, что все дополнительные многоугольники пристраиваются с одной стороны (рис. 3.3 а). С каждым шагом общее число сторон увеличивается на 2, поэтому будут получены многоугольники с любым четным числом сторон.

 

Рис. 3.3

Теперь предположим, что  равносторонний многоугольник с  нечетным числом сторон n можно расположить  на решетке Z², и пусть v_k, k = 1, 2, . . . , n, — векторы, которые составляют этот многоугольник. Тогда все эти векторы имеют целые декартовы координаты, которые мы обозначим соответственно через    (x_k, y_k). Так как эти векторы образуют многоугольник и имеют равные длины, то выполняются следующие равенства

x₁ +x₂ +. . .+x_n = 0,

y₁ +y₂ +. . .+y_n = 0,

x²₁ +y²₁ = x²₂ +y²₂ = . . . = x²_n +y²_n = a², где через a обозначена длина стороны многоугольника (напомним, что a² —натуральное число). Можно считать, что a имеет наименьшее возможное значение среди всех равносторонних n-угольников, которые можно поместить на решетку (если это было не так, то мы выберем n-угольник именно таким; ).

Возводя каждое из первых равенств в квадрат, а затем складывая полученные результаты (с учетом последующих n равенств), получаем соотношение

na² = -2_.

Так как n нечетно, то a² —четное число. Предположим сначала, что a² делится на 4. Тогда из равенств x²_i+ y²_i = a² (i = 1, 2, . . . , n) следует, что все x_i и y_i четные. Значит, на решетке можно нарисовать новый равносторонний n-угольник, сторонами которого будут векторы v_i/2 длины a/2. Но это противоречит минимальности a.

Пусть теперь a² делится на 2, но не делится на 4. Тогда все числа x_i и y_i — нечетные, так как они удовлетворяют уравнению x²_i+ y²_i = a² . Таким образом, сумма _. является четным числом и поэтому a² делится на 4, что, как мы уже знаем, невозможно.

Теорема полностью доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Формула Пика

 

В этой главе речь пойдет о формуле Пика для вычисления площадей многоугольников, которые расположены на решетках.

Теорема 4.1[1] (Г.Пик, [1] ). Для площади [P ] любого простого многоугольника P на решетке L имеет место формула:

[P ] =(N_i + 1/2N_e −1)S(L),

где N_i — число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Ne — число узлов решетки, расположенных на его границе

(включая и вершины), и  S(L) — площадь фундаментального параллелограмма решетки.

Доказательство.

Рис. 4.1

 В теореме рассматриваются  только простые многоугольники, т. е. такие, у которых границей  является простая замкнутая несамопересекающаяся  ломаная, и к каждой вершине  примыкает ровно две стороны. 

Приступая к доказательству теоремы отметим, что любой простой  многоугольник имеет по крайней  мере одну диагональ, которая целиком  расположена внутри многоугольника. Отсюда и из принципа математической индукции следует, что простой многоугольник (не обязательно расположенный на решетке) можно разбить на (n−2) треугольника, все вершины которых являются вершинами исходного многоугольника; тем самым, если многоугольник находится на решетке, то все вершины полученных треугольников являются узлами решетки. Простым следствием этого является то, что сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна (n − 2).

Вторым шагом в рассуждении  является доказательство того, что  любой простой многоугольник  на решетке можно разбить на примитивные  треугольники, т. е. на такие, которые  на своей границе и внутри себя не содержат узлов решетки, отличных от своих вершин. Чтобы это показать, воспользуемся принципом математической индукции.

Если треугольник является примитивным, то доказывать нечего. Если внутри треугольника ABC нет точек  решетки, но имеются узлы решетки  на его сторонах, то, выбрав любую  вершину, например A, соединим ее со всеми  узлами решетки, которые имеются  на противоположной этой вершине  стороне треугольника (рис. 4.2).

Рис. 4.2

 

Тогда все треугольники, кроме ABP и AQC, окажутся примитивными, а  у этих двух крайних треугольников  имеется по две стороны, которые  не содержат узлов решетки (рис. 4.2). Соединив точки P и Q с узлами решетки, находящимися соответственно на сторонах AB и AC, мы разобьем треугольники ABP и AQC на примитивные треугольники. Поэтому любой треугольник на решетке, не содержащий внутри себя узлов решетки, можно разбить на примитивные треугольники.

Общий случай сводится к  предыдущему. Пусть внутри данного  треугольника имеются узлы решетки. Выбрав один из них, соединим его отрезками  с вершинами исходного треугольника ABC (рис. 4.3). Проведенные отрезки разобьют ABC на три треугольника, которые внутри себя содержат меньше внутренних узлов решетки, чем их имел треугольник ABC. Поэтому, поступая аналогично с внутренними узлами решетки для каждого из полученных трех треугольников, мы разобьем каждый из них на треугольники с еще меньшим числом узлов решетки, которые находились в их «внутренностях». Так как мы имеем дело с конечным числом узлов решетки, то в какой-то  момент мы разобьем треугольник ABC на треугольники, каждый из которых внутри себя не содержит узлов решетки. Дальнейшее разбиение на примитивные треугольники теперь можно закончить, используя описанный выше процесс (рис. 4.2)

Рис. 4.3

 

Следующий шаг доказательства является центральным. Предположим, что  многоугольник P имеет k вершин (по условию — узлов решетки). Тогда на его границе имеется N_e−k узлов решетки, не являющихся вершинами многоугольника P; через N обозначим число примитивных треугольников в каком-либо его разбиении на такие треугольники многоугольника P. Мы покажем, что число N не зависит от способа разбиения (а они могут быть разными).

Каждый из узлов решетки, находящихся внутри P, участвует в разбиении на примитивные треугольники и сумма углов всех примитивных треугольников при каждом таком узле равна360° (см. рис. 4.4а). Поэтому сумма всех углов всех примитивных треугольников c вершинами во внутренних узлах решетки равна360°∙ N_i .

Каждый из узлов решетки, который находится на границе многоугольника P, но не является его вершиной, также участвует в разбиении и является вершиной некоторых примитивных треугольников (рис. 4.4б); сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна

180°∙ (N_e−k).

Рис. 4.4

 

Наконец, сами вершины многоугольника также являются вершинами некоторых примитивных треугольников разбиения (рис. 4.4в). Сумма всех углов всех примитивных треугольников при таких вершинах равна сумме внутренних углов многоугольника P и, тем самым, равна180°∙ (k−2).

Таким образом, для суммы  всех углов всех примитивных треугольников, которая, с одной стороны, равна180°∙N, получаем равенство

180°∙N= 360°∙N_i + 180°∙(N_e−k) + 180°∙(k−2) и, следовательно, N= 2N_i +N_e−2.

В правой части этого равенства (которое является одним из вариантов формулы Эйлера) стоит число, которое не зависит от способа разбиения многоугольника P на примитивные треугольники, что и утверждалось.

Более того, это соотношение  завершает доказательство формулы Пика. Для этого достаточно заметить, что любой примитивный треугольник на решетке является половиной ее фундаментального параллелограмма и, тем самым, площадь любого примитивного треугольника на решетке L равна S(L)/2. Теорема полностью доказана.

Следующий результат «расширяет»  теорему Пика.

Теорема 4.2.[1] Следующие утверждения эквивалентны:

1. Для любого простого  многоугольника M на решетке L имеет место формула Пика:

S(M) = (N_i +1/2∙N_e−1)∙S(L).

2.Площадь примитивного  треугольника на решетке L равна S(L)/2.

3. В любом разбиении  простого многоугольника на примитивные треугольники для их числа N выполняется равенство:

N= 2N_i +N_e−2.

Доказательство. Докажем сначала, что из п. 3 следует п. 2. Чтобы

это установить, заметим  сначала, что площадь любого треугольника на

решетке L (а тем самым и любого многоугольника на ней) выражается

числом вида n ∙S( L)/2. Параллелограмм, расположенный на решетке L , стороны которого параллельны линиям решетки, очевидно, имеет площадь кратную S. Значит, площадь треугольника, который является половиной такого параллелограмма, имеет вид n∙S/2. То же самое можно сказать и про любой треугольник с вершинами в узлах решетки, поскольку он всегда может быть получен из параллелограмма отрезанием нескольких треугольников площади n∙S/2(см. рис. 4.5).

Отсюда, в частности, следует, что площадь любого треугольника не меньше S( L)/2.

Пусть T— любой примитивный треугольник и P— описанный около него минимальный параллелограмм.

Рис. 4.5

Из правила параллелограмма для решеток следует, что для примитивного треугольника T могут иметь место только две последних возможности из