Многочлены над числовыми полями

                                   f(x) = 0                                                             (1)

где f(х) – нормированный многочлен степени n≥1 с комплекс- комплексными коэффициентами

f(х) = хⁿ + a_lx^n-1 + а₂х^n-2 + ... +а_n,

                                             (а₁,а₂,...,а_n℮С, n≥ 1).                                      (2)

Лемма 1. Существует такое  положительное число А, что при всех

 х₀ ℮ С, удовлетворяющих условию >А, выполняется неравенство > |f(0)|.

Пусть А –число, определенное по лемме 1. Рассмотрим на комплексной плоскости замкнутый круг К радиуса А с центром в начале координат. По лемме вне круга К многочлен f (х) принимает значения по модулю большие, чем f(0) (В частности, отсюда следует, что он может обращаться в нуль только в круге K.) Рассмотрим функцию

= │f(u + iv)│

двух действительных переменных u,v. Покажем, что она непрерывна на всей плоскости. Пусть a_k= b_k + ic_k, где b_k, c_k ℮ R; тогда

f(u + iv) = (u + iv)ⁿ + (b₁ + ic₁) (u + iv)^n-1 + ... +

+(b_n+ ic_n) = (u, v) + i (u, v),

где (u,v), (u,v) – некоторые многочлены с действительными коэффициентами. Очевидно, что

(u, v) =

Так как многочлены (u, v) , (u, v),–непрерывные функции, то и функция (u, v) непрерывна. Область определения функции (u, v) т. е. плоскость переменных u, v, можно отождествить с комплексной плоскостью.

Из курса анализа  известно, что всякая функция двух (или любого другого числа) действительных переменных, определенная и непрерывная во всех точках замкнутого ограниченного множества, достигает минимума в некоторой точке этого множества. Применяя эту теорему к функции (u, v) в круге К, можно заключить, что существует точка х₀ = u₀ +iv₀ этого круга, в которой функция (u, v) достигает минимума. Это означает, что

                                                                                    (3)

для всех х₁ ℮К. В частности,

,

так как 0 ℮ К Согласно построению круга К, значения многочлена f(x) вне этого круга по модулю больше, чем f(0), и тем более, чем f(x₀)Следовательно, неравенство (3) выполняется для всех х₁ ℮ С.

Теперь нам понадобится  такая лемма:

Лемма 2 (лемма  Даламбера). Если многочлен f (x) не обращается в нуль в точке х₀ ℮С, то для любого ℇ >0 существует такое u ℮ С. что < ℇ и |f(х₀+u)|< |f(х_о)|.

Иными словами, сколь  угодно близко к точке х₀ на комплексной плоскости найдутся точки, в которых значение многочлена f (х) по модулю меньше, чем f (х₀). Поэтому если |f(x)| достигает минимума в какой-то точке комплексной плоскости, то этот минимум равен нулю. С другой стороны, выше было доказано, что |f(x)| достигает минимума в некоторой точке х₀. По лемме Даламбера заключаем, что |f(х₀) |= 0 и, значит, f(x₀) = 0, т. е. х₀ – корень уравнения (1).

2.1.2.Разложение на линейные множители в кольце С [х].

Согласно основной теореме алгебры всякий многочлен f(х)℮С[х] степени n ≥ 1 имеет корень х₀ в поле С. В случае когда степень f (х) больше единицы, из наличия корня у многочлена f(х) вытекает его приводимость Следовательно, в кольце С[х] неприводимы только многочлены первой степени.

Каждый многочлен f (х) ℮ С[х] степени n≥ 1 может быть разложен на неприводимые множители в кольце С[х]. Из предыдущего замечания вытекает, что это разложение является разложением на линейные множители.

Теорема 2. Каждый многочлен f(х) ℮ С[х] степени n≥ 1 может быть разложен на линейные множители в кольце С[х].

2.1.3.Свойства мнимых корней.

При изучении многочленов  с действительными коэффициентами представляют интерес не только их действительные, но и мнимые корни, рассмотрение которых позволяет, в  частности, выяснить, какие многочлены неприводимы в кольце R[х]. Установим одно простое свойство совокупности всех комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами.

 Теорема 1. Если  комплексное число х₀ является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число также является корнем этого многочлена.

Отметим, что утверждение  теоремы представляет интерес только в том случае, когда х₀ – мнимое число, поскольку если х₀ действительное, то =х₀.

Доказательство. Пусть  данный многочлен имеет вид 

f(х) = а_охⁿ + а₁x^n-1 + ... +а_n-1х + а_n.

(a_о,а₁,…, а_n-1,a_n℮R)

По условию, f(х₀) = 0, т. е.

а₀ + a₁ + … + а_n-1х⁰ + а_n = 0.

Для вычисления f( ) воспользуемся следующими свойствами операции комплексного сопряжения

+

a также тем, что любое действительное число совпадает со своим сопряженным. Имеем

f ( ) = а₀ + а₁ + ... + a_n-1 + a_n =

= =

= + +…+ = = = 0,

т. е. х₀ также является корнем многочлена f(х).

2.2.1. Разложение на неприводимые множители в кольце R [х].

Из теоремы 1 можно вывести, что в кольце R[х] не приводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имею- имеющие действительных корней. В самом деле, пусть f(х) ℮ R[x]–многочлен степени n≥3 и х₀–какой-либо его комплексный корень. Если х₀ ℮ R, то многочлен f(х) делится на x–х₀ в кольце R[х] и, следовательно, приводим. Если х₀ ¢ R, то, по теореме 1, также является корнем многочлена f(х) (причем ≠х₀). В этом случае в разложение многочлена f(х) на линейные множители в кольце С[x] входят множители х–х₀ и х– . Следовательно, f(x) делится на квадратный трехчлен

(х– х₀) (х –х₀) = х² –(х₀ + ) х + х_о .

Так как х_о + ℮ R и х_о .℮ R, то

(х –х₀) (х– )℮ R[х]

и, значит, многочлен f(х) приводим в кольце R[х].

Таким образом, в кольце R[х] всякий многочлен, степень которого больше двух, приводим. Что касается многочленов второй степени, то из них неприводимы те и только те, которые не имеют действительных корней. Из описания неприводимых многочленов в кольце R[х] следует, что нормированное разложение на неприводимые множители любого многочлена f (х)℮R[x] имеет вид

f(х) =а (х–x₁)^k₁ (х–x₂)^k₂... (х–x_s)^ks

                      (х² +p_lx + q₁)^l₁(х² +p₂x + q₂)^l₂…(х²+p_tx+q_t)^l_t                        (1)

где x_l,x₂, ..., x_s –различные числа, a x² + p₁x + q₁, х²+ p₂x + + q₂ ,…, x²+p_tx+ q_t– различные квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней. Обозначим через у, какой-либо комплексный корень трехчлена х² + p_lх + q_l ; тогда другим его корнем будет и, значит,

                                         х²+р_lx+q_l=(х–у₁)(х– ).                                       (2)

Подставляя эти выражения  в (1) получаем разложение многочлена f(x) на линейные множители в кольце С[x]:

f(x) = а (х–x₁)^k₁ (х–x₂)^k₂…

                …(х–x_s)^ks (х–y₁)^l₁(х– )^l₁(х–y₂)^l₂(х– )^l₂…(х–y_t)^l_t(х– )^l_t          (3)

Заметим, что у_l=у_j, при i≠j, так как в противном случае из формулы (2) следовало бы, что

х² + р_lх + q_l = х² + р_jх + q_j

По той же причине у_l≠ .Отсюда следует, что у_l и –корни кратности l_l Таким образом, каждому неприводимому делителю h(x) второй степени многочлена f (х) ℮ R[х] соответствует пара сопряженных мнимых корней многочлена f (x), причем кратность каждого из них равна кратности делителя h(x).

 

 

2.2.2. Число действительных корней.

Мнимые корни алгебраического  уравнения с действительными  коэффициентами разбиваются на пары сопряженных; поэтому число действительных корней (с учетом кратностей) либо равно  степени уравнения, либо на четное число  меньше. В частности, любое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Понятно, что представляет интерес определение точного числа действительных корней. Вычисляя значения многочлена f (х) в отдельных точках, мы можем обнаружить, что в каких-то точках x₁,x₂ он принимает значения разных знаков. Поскольку многочлен–непрерывная функция, отсюда следует, что в некоторой точке интервала он должен обращаться в нуль. Таким способом мы можем оценить снизу число действительных корней. Однако точное определение этого числа требует привлечения других соображений.

Например, для многочлена f(x) = x⁴+ х²– 4х + 1 находим:

f(0) = 1 > 0, f(1) = –1<0, f(2) = 13 > 0. Следовательно, f(х) имеет корни на каждом из интервалов [0; 1 ]и[1; 2]. Нетрудно показать, что f(x₀) >0 при x₀≤0, а также при х₀ ≥ 2. Следовательно, все действительные корни многочлена f(x) лежат в интервале │0; 2.│ Однако мы не можем на основании проделанных вычислений утверждать, что в этом интервале находится только два корня, т.е. что многочлен f(х) имеет только два действительных корня. Это можно было бы доказать, например, с помощью теоремы Декарта: число положительных корней многочлена с действительными коэффициентами не превосходит числа перемен знака в последовательности его коэффициентов (которое в рассмотренном примере равно двум)

2.2.3.Вычисление корней.

Действительные корни  любого алгебраического уравнения  с действительными коэффициентами могут быть в принципе найдены  с любой точностью путем вычисления значений многочлена в отдельных точках Поясним это на примере. Многочлен

f(x) = х⁴ + х² –4х + 1

имеет корень в интервале  │1, 2│ Обозначим этот корень через  х₀. Вычисляя значения f(х) в точках 1,1, 1, 2… 1,9, мы обнаруживаем, что

f(1,2)<0,f(1,3) >0.

Следовательно, х₀ лежит в интервале │1, 2; 1, 3│. Вычисляя значения f (х) в точках 1,21, 1, 22, ..., 1,29, находим, что

f(1,24) < 0, f(1,25) >0.

Следовательно, х₀ лежит в интервале │1,24; 1,25│. Таким образом мы можем найти любое количество десятичных знаков искомого корня х₀, т. е. вычислить его с любой наперед заданной точностью.

2.3.1.РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Кольцо Q[х] многочленов с рациональными коэффициентами, как и кольцо многочленов над произвольным полем, является евклидовым кольцом, и в нем справедлива теорема об однозначном разложении на неприводимые (простые) множители. Однако, в отличие от многочленов над полем С или над полем R, описание неприводимых многочленов над полем Q не так просто. В этом отношении кольцо Q[x]больше похоже на кольцо Z целых чисел. Подобно тому, как существуют сколь угодно большие простые числа, в кольце Q[x], как будет показано ниже, существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени.

2.3.2.Рациональные корни.

 Отыскание рациональных корней много- многочлена с рациональными коэффициентами, очевидно, равносильно отысканию линейных множителей в его разложении на неприводимые множители в кольце Q[х]. Так как всякий многочлен с рациональными коэффициентами может быть представлен в виде f(х), где а,b ℮ Z, a f(x) – многочлен с целыми коэффициентами, то достаточно научиться находить рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Существует простой способ нахождения рациональных корней. Он основан на следующей теореме:

Теорема 1. Пусть f(x) –многочлен с целыми коэффициентами. Если рациональное число х₀ = где р и q — взаимно простые целые числа, является корнем многочлена f (x), то q делит старший коэффициент этого многочлена, а р делит его свободный член.

Так как каждое целое  число, отличное от нуля, имеет лишь конечное число делителей, то теорема  позволяет путем конечного перебора найти все рациональные корни. Доказательство. Пусть 

f(х) = а_охⁿ + а₁x^n-1 + ... +а_n-1х + а_n

(а₀, а₁, ..., a_n-1,a_n ℮ Z).

Запишем условие того, что х₀ = является корнем многочлена f(x)

a₀

+a₁ +…+a_n-1 +a_n=0

или, после умножения  на qⁿ

a₀pⁿ+a₁p^n-1q+…+a_n-1pq^n-1+a_nqⁿ = 0.

Так как все слагаемые  в левой части этого равенства, кроме первого, делятся на q, то и первое слагаемое должно делиться на q. Поскольку р и q, согласно предположению, взаимно просты, отсюда следует, что а₀ делится на q. Аналогично доказывается, что а_n делится на р.

Найдем все рациональные корни уравнения 

5х⁴ – ³ +5x² + – =0

После умножения на получаем уравнение

Зх⁴– 2x³ + Зх² + х – 2 = 0,

в левой части которого стоит многочлен с целыми коэффициентами. Делителями его старшего коэффициента являются числа ±1, ±3, делителями свободного члена – числа ±1, ±2. Следовательно, рациональными корнями этого уравнения могут быть только числа ±1, ±2, ± , ± . Испытывая их, находим, что данное уравнение имеет один рациональный корень, а именно

Особенно простым является случай, когда старший коэффициент  многочлена f(х) равен единице. Рациональное число х₀ = может быть его корнем, только если q=±1. Следовательно, х₀ – целое число, которое должно быть делителем свободного члена. Таким образом, получаем такое следствие:

Следствие. Если f(x) – нормированный многочлен с целыми коэффициентами, то все его рациональные корни суть целые числа, являющиеся делителями свободного члена.

Найдем все рациональные корни уравнения 

х⁴ —x² + х— 10 = 0.

Испытывая делители свободного члена, а именно числа ±1, ±2, ±5, ±10, находим, что единственный рациональный корень данного уравнения  равен –2.

В более сложных примерах, когда старший коэффициент и  свободный член многочлена f(x) имеют много делителей, отыскание всех рациональных корней указанным выше способом довольно затруднительно. Чтобы облегчить вычисления, можно воспользоваться следующим свойством любого рационального корня х₀ = (р и q–взаимно простые целые числа) если с – любое целое число, то p –cq делит f (с). Для доказательства этого свойства разложим многочлен f(x) по степеням х–с = у. При этом мы получим некоторый многочлен g (у) с целыми коэффициентами. Число у₀ = х₀–с = = является корнем многочлена g(у). Так как свободный член этого многочлена равен f(с), то, согласно теореме 1, р–cq делит f(с), что и требовалось доказать.