Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

 

 

Подставив значения, данные из условия задания, получим

            (15)

 

1.1.3. Структура событий вероятности  катастроф, связанных с отказом  вспомогательных  подсистем   Е_КС

 

         Рассмотрим структуру событий Е_КС и найдем Р(Е_КС) = Р_КС 

Событие Е_КС наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательных подсистем.

По закону двойственности

Так   как   события      независимы,  получим:

Поскольку ,  получим:

Тогда

Если выполняется условие:

то

   (16)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

     (17)

 

       Переходим    к    числовым   расчетам.     Вычислим   вероятность катастрофы  по выведенной нами формуле  (5). Так как в нашем случае  выполняется условие (12),  то

 

 

Так как  выполняется  условие  и и , то будем далее иметь:

 

Видно, что , так как

.

Из   этого  следует,   что   вероятность   катастрофы,  связанной   с отказом вспомогательных  подсистем, является определяющей.

1.2 Вероятность  катастрофы  ЛА  без дублирующих  систем

 

Вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы , одна система энергоснабжения с вероятностью отказа и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа каждая) с учетом, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга, будет определяться по формуле:

                         

                          (18)

где – вероятность катастрофы ЛА без дублирующих систем; – вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя, системы энергоснабжения соответственно в случае без дублирующих систем.

  Исходя  из  исходных  данных  будем  иметь:

а как уже подсчитано ранее, , то, подставив эти значения в формулу (18), получим:

Так как  

,

8∙10^-6 <4∙10^-4<10^-3

 

то из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной  с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

Сравним вероятности  и :

2. Определение  надежности элементов системы  энергоснабжения самолета

 

       Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения   для каждого из m элементов.

       Определяем вероятность того, что в интервале (0; ) часов откажут: только один элемент; только два элемента; только n элемента; все m элементов; ни один из m элементов не откажет.

Дано:

     

m
4	0,16	0,26	0,36	0,41	4

 

Введем обозначения:

       – события, состоящие в том, что отказал только один элемент, только два, три элемента, все четыре, ни один элемент не отказал;

      – вероятности отказа 1-го, 2-го, 3-го, 4-го элемента в заданном интервале (0; 4) соответственно. 

 

 

Тогда

      – вероятности безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го, 4-го элемента в заданном интервале (0; 4) соответственно.

 

 

Так как время безотказной  работы элемента определяется его функцией надежности, которая равна

вероятность  безотказной  работы i-го элемента будет

 Таким образом,  вероятность  безотказной  работы 1-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет

Вероятность отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет  

                                   

Вероятность  безотказной  работы 2-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет

Вероятность  отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет

 

Вероятность  безотказной  работы 3-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет

Вероятность  отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет 

 

Вероятность  безотказной работы 4-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет

 

Вероятность  отказа 4-го элемента в заданном интервале (0; 4) будет 

 

Переходим к расчету  искомых вероятностей, которые находятся  следующим образом:

      Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 4) будет

 

 

вероятность       отказа    только    двух    элементов     в    заданном интервале  (0; 4)  будет

 

 

 

 

вероятность  отказа  трех элементов в заданном интервале (0; 4) будет

вероятность       отказа    всех четырех   элементов     в    заданном интервале  (0; 4)  будет

вероятность безотказной  работы всех четырех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 4) будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы

     В первой задаче  наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 172 раза, при этом определяющим фактором становится отказ системы энергоснабжения.

            При определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета  с заданными данными во время испытаний в заданном интервале (0; 4)  наиболее  вероятным является  отказ трех    элементов,  а    наименее   вероятным   –   отказ   одного   элемента,  так   как

Вероятность же того, что все  четыре элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 4)  является небольшой, а именно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_{Список  используемых источников}

_{1. Сотсков,  Ю.Н. Теория расписаний: методическое пособие/Ю.Н.  Сотсков, А.Н. Нарольская. – Минск: МГВАК,2008.}

_{2. Сапцин, В.М. Высшая математика. Часть 1.− Минск: МГВАК, 2002.}

_{3. Барковская, Л.С. Теория вероятностей : практикум / Л.С.  Барковская, Л.В. Станишевская, Ю.Н. Черторицкий.  –Минск: БГЭУ, 2004}