Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Данная формула  называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислим .

Решение. Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислим .

Решение. Пусть ,

Тогда и . Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим:

Надеемся, Вы заметили, что при расчете была введена переменная .

Задание 4.3.2. Вычислите интегралы: 1) ; 2) (Примените в обоих случаях метод разложения на слагаемые и непосредственное интегрирование); 3) (Введите и не забудьте поменять пределы интегрирования); 4) (Положите и проинтегрируйте по частям). (Ответ. 1) 30, 2) , 3) , 4) .)

Геометрические  приложения определенного интеграла

 

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е.

Пример. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Из рис. 36 видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

, '

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Рис. 36.

Решая систему , получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2; 4). Тогда . Для вычисления второго интеграла  определим вид подынтегральной  функции, выразив из переменную у: .

Тогда получим:

 

Окончательно (ед.² ).

Ответ. ед².

Задание 4.3.3. Выполнив построение, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) ; 2) ; 3) . (Ответ. 1) 7,5 ед2, 2) 36ед2, 3) 18 ед2.)

 

Несобственные интегралы

 

Несобственные интегралы с бесконечными пределами  интегрирования

Определение. от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции при t стремящемся к +¥, т.е.

.

Если  предел в правой части равенства  существует и конечен, то несобственный  интеграл называется сходящимся, в  противном случае – расходящимся.

По аналогии решается вопрос в том случае, когда  бесконечен нижний предел:

При работе с несобственными интегралами решаются две основные задачи:

1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
2. вычисление значения интеграла в том случае, когда он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет  придать вполне определенный смысл  такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры (в этом состоит геометрический смысл несобственных интегралов).

 

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Рассмотрим случай, когда функция  непрерывна, но не ограничена на .

Определение. Если существует и конечен предел , где d > 0, то он называется несобственным интегралом от функции от функции на и обозначается , т.е. = .

В этом случае данный несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пример. Вычислим несобственные интегралы:

1) ; 2) .

Решение.

1) Применим  алгоритм вычисления несобственного  интеграла с бесконечным верхним  пределом. Для нахождения интеграла,  находящегося под знаком предела,  воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

2.  Подынтегральная функция не ограничена в нижнем пределе. Применим алгоритм вычисления такого интеграла и найдем значение интеграла под знаком предела по формуле Ньютона-Лейбница:

Задание 4.3.4. Вычислите или установите расходимость несобственных интегралов: 1) ; 2) ; 3) . (Ответ. 1) 0,5; 2) 0,5; 3) 1,5.)