Математическое ожидание дискретной случайной величины

Тема 9   

Математическое  ожидание дискретной случайной величины.

Пусть задан закон распределения  случайной величины x.

x	х1	х2	х3	¼	хn
P	p1	p2	p3	¼	pn

Математическое ожидание Мx (или М(x)) случайной величины x определяется формулой

Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу:

Количество проданных холодильников	0	1	2	3	4	5
Число дней, в которые было продано столько  холодильников	3	7	8	9	2	1

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных  в магазине за месяц: 0×3+1×7+2×8+3×9+4×2+5×1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей

, каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:

Если бы в последней формуле  относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно  большего срока, то при некоторых  условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом  распределения

x	1	0
Р	p	q

Здесь p + q = 1,

Mx = 1×р + 0×q = р

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическое ожидание равно С.
2. Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).
3. Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

Выведем формулу для математического  ожидания суммы двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения

x	х1	¼	xn		h	y1	¼	yk
Р		¼			Р		¼

М(x + h) = (х₁ + у₁)Р((x = х₁) ∩ (h = у₁))+ (х₂ + у₁)Р((x = х₂) ∩ (h = у₁)) +¼ 
+(х_i + у_j)Р((x = х_i) ∩ (h = у_j)) + ¼ + (х_n + у_k)Р((x = х_n) ∩ (h = у_k))

Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:

М(x + h) = х₁ Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + х₁ Р((x=х₁)∩(h=у₂)) +¼+х₁ Р((x=х₁)∩(h=у_k)) + + х₂Р((x=х₂)∩(h=у₁)) + х₂Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + х₂Р((x=х₂)∩(h=у_k)) + ¼

+ х_nР((x=х_n)∩(h=у₁)) + х_nР((x=х_n)∩(h=у₂)) +¼ + х_nР((x=х_n)∩(h=у_k)) + 

+ у₁Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + у₁Р((x=х₂)∩(h=у₁)) +¼ + у₁Р((x=х_n)∩(h=у₁)) +

+ у₂Р((x=х₁)∩(h=у₂)) + у₂Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + у₂Р((x=х_n)∩(h=у₂)) + ¼

+ у_kР((x=х₁)∩(h=у_k)) + у_kР((x=х₂)∩(h=у_k)) +¼ + у_kР((x=х_n)∩(h=у_k)) =

= х₁(Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + Р((x=х₁)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х₁)∩(h=у_k))) +

+ х₂(Р((x=х₂)∩(h=у₁)) + Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х₂)∩(h=у_k))) +¼ +

+ х_n(Р((x=х_n)∩(h=у₁)) + Р((x=х_n)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у_k))) +

+ у₁(Р((x=х₁)∩(h=у₁)) + Р((x=х₂)∩(h=у₁)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у₁))) +

+ у₂(Р((x=х₁)∩(h=у₂)) + Р((x=х₂)∩(h=у₂)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у₂))) + ¼

+ у_k(Р((x=х₁)∩(h=у_k)) + Р((x=х₂)∩(h=у_k)) +¼ + Р((x=х_n)∩(h=у_k))) =

= х₁Р(x=х₁) + х₂Р(x=х₂) +¼+ х_n Р(x=х_n) +

+ у₁Р(h=у₁) + у₂Р(h=у₂) +¼+ у₁Р(h=у₁) = Mx + Mh

При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие x=х₁ можно представить в виде объединения несовместных событий (x=х₁)∩(h=у₁), (x=х₁)∩(h=у₂), ¼, (x=х₁)∩(h=у_n).

Пример.

Заданы n одинаково распределённых случайных величин x₁, x₂, ¼, x_n с законом распределения

Таблица 1	xi	1	0
	P	p	q

Найти математическое ожидание суммы  этих случайных величин.

Решение.

M( ) =  = np

 

Если случайные величины x и h независимы, то

М(xh) = Мx×Мh

Доказательство.

Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

x

х1

¼

xi

¼

xn

h

y1

¼

yj

¼

yk

Р

¼

¼

Р

¼

¼

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:

М(xh) =   =

= х₁ +х₂ +¼+ х_i ¼+ х_n  =

= х₁ Mh + х₂ Mh + ¼+ х_i Mh¼+ х_n Mh = Mh = Мx×Мh

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулой

Dx = M(x – Mx)².

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

x	1	2	3
Р

Вычислим её математическое ожидание.

Mx = 1×  + 2×  + 3×  = 

Составим закон распределения  случайной величины x – Mx

x– Mx
Р

а затем закон распределения  случайной величины (x – Mx)²

(x– Mx)2
Р

Теперь можно рассчитать величину Dx :

Dx =  ×  +  ×  +  ×  = 

Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде:

Dx = 

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

Dx = 

= 

= Mx² – M²x

Таким образом, дисперсия случайной  величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.

 

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx² = р. Таким образом, получается, что Dx = р – р² = pq.

Дисперсия характеризует  степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной  величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Свойства  дисперсии.

1. Если с – число, то D(x + с) = D(x)
2. Если k – число, то D(kx) = k² Dx.

Доказательство.

D(kx) = M(kx – M(kx))² = M(kx – k Mx)² = M(k² (x – Mx)²) = k²M(x – Mx)² =

= k² Dx

3. Для попарно независимых случайных величин x₁, x₂,¼, x_n справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин x_i с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину x. Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место равенство: x =  . Отсюда следует, что математическое ожидание бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р).

Если случайные величины x_i и x_j зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в последующих лекциях.

Рекомендуем читателю рассмотреть  следующий пример.

Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

x	0	1		h	1	2
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,3

Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.

Величина  называется среднеквадратическим отклонением случайной величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина x – число карт между тузом и королём. Найти величины Mx и Dx.

Задача II.

В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар. Из урны наудачу извлекаются 3 шара. Случайная величина x – число белых шаров в выборке. Случайная величина h принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение 1, если в выборке нет зелёного шара. Найти величины Mx и Dx. Проверить выполнение равенства М(x + h) = Мx + Мh и неравенств D(x + h) ¹ Dx + Dh, Мxh ¹ Мx Мh

Задача III.

По прогнозу акции  корпорации С₁ поднимутся в цене с вероятностью 0,7. Независимо от них акции корпорации С₂ поднимутся в цене с вероятностью 0,5. Случайная величина x примет значение 0, если ни одна из акций С₁ и С₂ не поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене, и значение 2, если в цене поднимутся обе акции. Случайная величина h примет значение 0, если акция С₁ не поднимется в цене и значение 1, если эта акция поднимется в цене. Найти величины Mx и Dx. Проверить справедливость неравенства D(x + h) ¹ Dx + Dh.