Математические методы по "Психологии"

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору:

А - партия изделий;

B - станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 1.2, в которой по строкам - уровни Ai фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий xijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

Таблица 1.2 – Показатели качества изделий

	B1	B2	…	Bj	…	Bl
A1	x11l,…,x11k	x12l,…,x12k	…	x1jl,…,x1jk	…	x1ll,…,x1lk
A2	x21l,…,x21k	x22l,…,x22k	…	x2jl,…,x2jk	…	x2ll,…,x2lk
…	…	…	…	…	…	…
Ai	xi1l,…,xi1k	xi2l,…,xi2k	…	xijl,…,xijk	…	xjll,…,xjlk
…	…	…	…	…	…	…
Am	xm1l,…,xm1k	xm2l,…,xm2k	…	xmjl,…,xmjk	…	xmll,…,xmlk

 

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

xijk=μ+Fi+Gj+Iij+εijk, (15)

где xijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;

μ - общая средняя;

Fi - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;

Gj - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;

Iij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15);

εijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что εijk имеет нормальный закон распределения N(0; с2), а все математические ожидания F*, G*, Ii*, I*j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

- в ячейке:

,

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 1.3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 1.3 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор А)		m-1
Межгрупповая (фактор B)		l-1
Взаимодействие		(m-1)(l-1)
Остаточная		mln - ml
Общая		mln - 1

 

Проверка нулевых гипотез HA, HB, HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений  ,  ,   (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений  ,  ,   (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.

Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q3 из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат  , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q1, Q2, Q3, Q4, Q целесообразнее использовать формулы:

Q3 = Q – Q1 – Q2 – Q4.

Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы /1/.

 

t-критерий Стьюдента

 

       t-Критерий  Стьютдента используется для:

       1) установления  сходства-различия средних арифметических  значений в двух выборках

( M 1 ↔ M 2 ) или в более общем виде, для установления сходства-различия двух эмпирических

распределений;

        2) установления  отличия от нуля некоторых  мер связи: коэффициента линейной

корреляции Пирсона, ранговой корреляции Спирмена, точечно-бисериальной и рангово-

бисериальной корреляции (rxy, rs, rpb ↔”0” ) и коэффициента линейной регрессии (Rху ↔ "О"):

        3) установления  сходства-различия двух дисперсий  в двух зависимых выборках.

        Ограничения:

1) это параметрический  критерий, поэтому необходимо, чтобы  распределение признака, по

    крайней мере, не  отличалось от нормального распределения;

2) для независимых и  зависимых выборок разные формулы  расчета;

        Гипотезы

1) независимые выборки:

    Н0: средние значения  признака в обоих выборках не различаются,

    Н1: средние значения  признака в обоих выборках статистически значимо различаются.

2) зависимые выборки:

    Н0: разности оценок испытуемых в двух состояниях не отличаются от нуля,

    Н1: разности оценок испытуемых в двух состояниях статистически значимо отличаются от

    нуля.

        Рассмотрим  случай 1.

        Пример 5.1.(независимые выборки). Предположим, имеется две независимые выборки

школьников, интеллект которых развивали в течение некоторого времени по двум различным

методикам, требуется установить, какая из методик лучше (табл.5.1). Предварительно было выяснено, что начальный уровень интеллекта был одинаковым в обеих выборках. Задача

сравнения двух методик может быть переформулирована на язык статистики как задача сравнения

средних арифметических значений интеллекта в обеих выборках.

       Таблица 5.1.

 

       Гипотезы:

       Н0: средние  значения уровня интеллекта в  обоих выборках не различаются,

       Н1: средние  значения уровня интеллекта в  обоих выборках статистически значимо

различаются.

       В данном  случае для получения эмпирического  значения t-критерия используется

следующая формула:

 

       где: n1, n2 – количество испытуемых в 1-й  и 2-й выборках; M 1 , M 2 – средние

арифметические значения в 1-й и 2-й выборках; σ1, σ2 – стандартные отклонения в 1-й и 2-й

выборках.

       Количество  степеней свободы для нахождения  критического значения критерия:

                                        Df = n1+n2-2.

       (В рассматриваемых примерах критические значения t-критерия приводятся для

ненаправленных гипотез).

       Тогда:

 

        Таким  образом, получаем tэмп=2,486

        Критические  значения t-критерия находим по  таблице 1 (приложение 5.3.) для df=30+32-

2=60.

               2,0 для p ≤ 0,05

        t кр = 

               2,66 для p ≤ 0,01

       Полученное  эмпирическое значение t-критерия  превышает критическое для α=0,05, но

оказывается меньше критического для α=0.01, т.е.

       2,0<Tкр=2,486 < 2,66

       Вывод: Н0 гипотеза отклоняется и можно сделать вывод о статистически значимом

различии средних арифметических значений в двух выборках для ρ≤0.05 и о преимуществах

второй методики по сравнению с первой.

       Строгое  использование t-критерия предполагает, что обе выборки извлечены  из

нормальных совокупностей. Однако многие авторы не считают это условие достаточно жестким,

указывая на возможность использования t-критерия в ситуациях, когда нет серьезных оснований

сомневаться в нормальности распределения признака в генеральной совокупности, даже если это

нельзя подтвердить статистически.

 

       При зависимых  выборках возникает корреляция  результатов, поскольку измерения

проводятся на одних и тех же испытуемых в различных условиях (х и у)', чтобы учесть влияние

корреляции, применяется другая формула:

 

 

 

 

        где  di = xi – уi, то есть разность значений признака для каждого испытуемого. Количество

степеней свободы df=n–1. Проверяется статистическая гипотеза о соответствии распределения

разностей t-распределению Стьюдента с нулевым средним значением.

        Пример 5.2. (зависимые выборки). Допустим, проводится  измерение ситуативной

тревожности до и после психотерапевтического воздействия с помощью некоторого опросника

(табл.5.2). Исследователя интересует  вопрос, приводит ли воздействие  к изменению уровня

тревожности.

        Гипотезы:

        Н0: разности оценок у испытуемых ситуативной тревожности до и после

психотерапевтического воздействия не отличаются от нуля,

        Н1: разности оценок у испытуемых ситуативной тревожности до и после

психотерапевтического воздействия статистически значимо отличаются от нуля

 

       Таблица 5.2.

 

       Подставив в формулу найденные значения Σdi и Σdi2 получим:

 

       Имеем: tэмп=2,798

       Находим  по таблице 1 критические значения (Приложение 5.3.)

              2,365 для p ≤ 0,05

       t кр = 

              3,499 для p ≤ 0,01

       Отсюда: 2,365<tэмп=2,798<3,499

       Вывод: Принимается  Н1 гипотеза. Различия в уровнях тревожности до и после

психотерапевтического воздействия следует признать статистически значимыми (р<0,05), так как

эмпирическое значение превышает первое критическое, но меньше второго. Следовательно,

психотерапевтическое воздействие действительно снижает тревожность.

 

 

      Случай 2. При  проверке отличия от нуля мер  связи (коэффициентов корреляции)

эмпирическое значение t-критерия вычисляется по формуле

 

        где  r – коэффициент корреляции, n – количество испытуемых. Количество степеней

свободы df= n–2. Вывод об отличии меры связи от нуля делается при превышении эмпирического

значения критерия над критическим для α=0.05 и соответствующего числа степеней свободы, то