Логарифмы

     Лекция  № 12

     Тема: Логарифмы и их свойства. Натуральные  логарифмы. Десятичные логарифмы и их свойства.

     Опорные понятия: логарифмы и их свойства. Натуральные логарифмы. Десятичные логарифмы.

     Текст лекции

1. Понятие логарифма

     Пусть числа а, b,x связаны соотношением  а^х=b. Можно сказать, что число b является степенью числа а (основания) с показателем х. Если числа а и b  фиксированы, а нужно выразить через них х, то используют понятие логарифма. Будем считать, что в качестве основания взято положительное число а≠1 (если а =1, то 1^х=1 при любом x) 

     Логарифмом  числа b по основанию a называется такое число х, что а^х=b, т.е.  показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b:

                     x=log_ab 

     П р и м е р ы :     log₃  81 = 4 , так как  3⁴  = 81 ;                               

     log_1/3 27 = – 3 , так как  (1/3) ^-3 = 3³ = 27 .                                   
 

     Подставляя в равенство а^х=b запись числа x  в виде логарифма, получаем основное логарифмическое тождество: а^log_a^b=b(а>0, b>0 и a≠1) 

     Подставляя  в равенство  x=log_ab выражение в виде степени, получаем еще одно тождество:  log_aа^b=b. 

     2.Основные  свойства логарифмов 

     Свойства  степеней и логарифмов тесно связаны  между собой. Они фактически выражают одно и то же, только один раз мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а другой раз - на поведение показателей.

     Запишем свойства логарифмов, соответствующие  свойствам степеней: 

     Вспомним  основные свойства степеней:

1. aⁿ a^m=a^n+m
2. aⁿ /a^m= a^n-m
3. (aⁿ )^m=a^nm
4. ⁿ√a^m=a^m/n
5. а¹=а
6. а⁰=1

             Основные свойства логарифмов.                                             

     1)  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: 

     log_a ( ху ) = log_а  х + log_а у   

     2)  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:     log_а ( х /у ) = log_а х – log_а у  

     3) Логарифм степени  равен произведению  показателя степени  на логарифм её  основания:   log_а  b ^k = k · log_а b  

     4) log_а  ⁿ√x=1/n*  log_а  x 

     5)   log_а а = 1 ,  так как  а ¹ =а .                                                                             

     6)   log _а 1 = 0 ,  так как  а ⁰ = 1 .             

     7)  Формула   перехода от одного основания логарифма к другому основанию: 

     log_ax = log_b x / log_b a ( эта формула верна, если обе ее  части имеют смысл, т.е. при х>0, a>0 и a≠1, b>0  и   b≠1.) Отсюда следует: log_b x= log_ax  log_b a 

     Коэффициент пропорциональности 1/ log_b a часто называют модулем перехода.

     Отметим простые следствия формулы перехода:

1. log_a b=1/log_b a
2. log_b^kx=log _bx/ k
3. log_1/ax=- log_ax ( k=-1)

3. Понятие десятичного логарифма  

     Логарифмы по основанию 10 используются чаще других, и для них принято сокращенное  обозначение: lg и называются десятичными.            

     Десятичным  логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , т.е. log ₁₀N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е. имеют столько положительных

     единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом  числе после единицы. Логарифмы  чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.  

     4. Понятие натурального логарифма 

     Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log _eN = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n) ⁿ  при неограниченном возрастании  n  ( см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию  е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

     Среди свойств числа e , в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции y = e^x в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°.