Линейная алгебра

1. Комплексные  числа

8. Вычислить

Решение.

где n — любое целое число. Отсюда:

Ответ: .

2. Векторная алгебра

9. При каком значении параметра х векторы c=a+2b и b=(2,-2) коллинеарны, где a=(2,х).

 

Решение.

a) Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

 

c (2+2b; x+2b)

b (2;-2)

Т.е. =   => 

 
 

 

Проверка:

 

 

 

Ответ: при  x= - 4b – 2   векторы с и b коллинеарны.

3. Выполните  умножение матриц АВ^–1С

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. а) Находим определитель матрицы В:

∣B∣= 2*1*2 + 2*(-1)*1 + (-3)*(-1)*0 - (-3)*1*1 - 2*(-1)*2 - 2*(-1)*0 = 9 ≠ 0

 

Определитель  матрицы  , матрица невырожденная, поэтому существует обратная матрица.

 

б) Вычисляем миноры всех элементов матрицы В:

 

= 2   = -1  = -1

 

= 4  = 7   = -2

 

= 1  = -5  = 4

 

в) Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы по формуле :

 

=  2   = 1   = -1 

= -4   = 7   = 2

= 1   = 5   = 4

 

г) Составляем матрицу из полученных значений:

 

 

Транспортируем полученную матрицу:

 

=

 

д) Находим  обратную матрицу  , для этого каждый элемент полученной матрицы разделим на определитель исходной матрицы ∣В∣= 9.

 

=    =

 

 

Проверяем:

 

В* = *

 

 =

 

2. Перемножаем  матрицы А и  :

 

А* = * =

 

 

 

 

3. Перемножаем  полученную матрицу с матрицей  С:

 

* =

 

=

 

Ответ: .

 

 

4. Найдите решения  системы уравнений методом Крамера

6

 

Решение:

1. Найдем определители:

Δ = =

 

 

 

 

 

 

2. Так как Δ≠0, то система уравнений имеет следующие решения, которые определяются по формулам:

 

 

 

Ответ:

 

5. Собственные  значения и собственные векторы

Найти собственные числа  и собственные векторы матрицы

Решение:

1. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид:

= 0

Δ=

      

      

 

 – это собственные значения матрицы.

2. Найдем соответствующие им собственные векторы.

а) Пусть , тогда для собственного вектора α получаем матричное уравнение.

 

 

Полагая, что  , получим:

 

Т.е. собственному числу  соответствует собственный вектор α= .

б) Пусть , тогда для собственного вектора β получаем матричное уравнение.

 

 

Полагая, что  , получим:

 

Т.е. собственному числу  соответствует собственный вектор β = .

6. Квадратичные  формы

Приведите квадратичную форму к  каноническому виду. Найдите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид:

 

2.

Решение.

Коэффициенты: .

Составляем характеристическое уравнение: