Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Октября 2012 в 15:17, контрольная работа
Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Найдите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид
1. Комплексные числа
2. Векторная алгебра
3. Умножение матриц
4. Решение системы уравнений методом Крамера
5. Собственные значения
6. Квадратичные формы
1. Комплексные числа
8. Вычислить
Решение.
где n — любое целое число. Отсюда:
Ответ: .
2. Векторная алгебра
9. При каком значении параметра х векторы c=a+2b и b=(2,-2) коллинеарны, где a=(2,х).
Решение.
a) Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.
c (2+2b; x+2b)
b (2;-2)
Т.е. = =>
Проверка:
Ответ: при x= - 4b – 2 векторы с и b коллинеарны.
3. Выполните умножение матриц АВ–1С
10 |
||
|
|
1. а) Находим определитель матрицы В:
∣B∣= 2*1*2 + 2*(-1)*1 + (-3)*(-1)*0 - (-3)*1*1 - 2*(-1)*2 - 2*(-1)*0 = 9 ≠ 0
Определитель матрицы , матрица невырожденная, поэтому существует обратная матрица.
б) Вычисляем миноры всех элементов матрицы В:
= 2 = -1 = -1
= 4 = 7 = -2
= 1 = -5 = 4
в) Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы по формуле :
= 2 = 1 = -1
= -4 = 7 = 2
= 1 = 5 = 4
г) Составляем матрицу из полученных значений:
Транспортируем полученную матрицу:
=
д) Находим обратную матрицу , для этого каждый элемент полученной матрицы разделим на определитель исходной матрицы ∣В∣= 9.
= =
Проверяем:
В* = *
=
2. Перемножаем матрицы А и :
А* = * =
3. Перемножаем полученную матрицу с матрицей С:
* =
=
Ответ: .
4. Найдите решения
системы уравнений методом
6 |
Решение:
1. Найдем определители:
Δ = =
2. Так как Δ≠0, то система уравнений имеет следующие решения, которые определяются по формулам:
Ответ:
5. Собственные значения и собственные векторы
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение:
1. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид:
= 0
Δ=
– это собственные значения матрицы.
2. Найдем соответствующие им собственные векторы.
а) Пусть , тогда для собственного вектора α получаем матричное уравнение.
Полагая, что , получим:
Т.е. собственному числу соответствует собственный вектор α= .
б) Пусть , тогда для собственного вектора β получаем матричное уравнение.
Полагая, что , получим:
Т.е. собственному числу соответствует собственный вектор β = .
6. Квадратичные формы
Приведите квадратичную форму к каноническому виду. Найдите базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид:
2.
Решение.
Коэффициенты: .
Составляем характеристическое уравнение: