Кривые 2-го порядка

«Кривые 2-го порядка»

 

Цель: научиться по общему уравнению кривой 2-го порядка находить соответствующую ему квадратичную форму.

 

Краткие теоретические сведения:

Кривые 2-го порядка.

Окружность. Если  R– радиус окружности, а точка – её центр, то уравнение окружности имеет вид:

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и - постоянная величина 2 , причём это расстояние больше разности между фокусами 2с. Если отрезок лежит на оси (Ox), а его середина в начале координат, то простейшее(каноническое) уравнение эллипса имеет вид: , где , – большая полуось эллипса, – малая полуось. Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Если < , то фокусы находятся на оси (Oy),  , .

 

 

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина расстояний от которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная (2 ), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Расстояние между фокусами обозначается 2с.

Если за ось (Ох) принять прямую, проходящую через фокусы и , а за ось (Оу) – перпендикуляр к оси (Ох) в середине отрезка , то каноническое  уравнение гиперболы примет вид: , где , – действительная полуось, – мнимая полуось гиперболы.

 

Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной дочки, называемой фокусом, и данной прямой, названной директрисой.

Каноническое  уравнение параболы, симметричной относительно оси (Ох) и проходящей через начало координат, имеет вид  , где p – расстояние от фокуса параболы до её директрисы .

 

Общее уравнение кривой 2-го порядка Ax² + 2Bxy + Cy² +2Dx+2Ey + F = 0, где A, B, C, D, E, F– некоторые постоянные. Или в матричной форме .

Многие важные свойства кривых 2-го порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой.

Величины  , , называются инвариантами (то есть величинами, не меняющими своих значений при переносе начала координат и при повороте осей координат) 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Величина  называется семиинвариантом (полуинвариантом). Он является инвариантом относительно поворота осей.

Исследуем общее  уравнение кривой.

1) :

а) , общее уравнение кривой приводится к виду которое задаёт действительный эллипс,

б) , - мнимый эллипс,

в) , - действительная точка пересечения двух действительных прямых.

2) :

а) , - гипербола,

б) , - пара действительных пересекающихся прямых.

3) :

а) , - парабола,

б) и , - пара действительных параллельных прямых,

в) и , - одна действительная прямая (пара совпавших прямых),

г) и , - пара мнимых параллельных прямых (ни одной действительной точки).

Параметры , , находятся через инварианты , , и корни характеристического уравнения или , , так как являются собственными значениями действительной симметричной матрицы

Для эллипса: = , = .

 

Для гиперболы: = , = .

 

Для параболы =

 

Пример. Найти квадратичную форму, соответствующую уравнению кривой

x² – 2xy + 2y² – 4x – 6y + 3 = 0.

Решение. A = 1, B = -1, C = 2, D = -2, E = -3, F= 3.

=3,

= =1,

= =-26.

Так как  и , то уравнение задаёт действительный эллипс. Найдём его квадратичную форму.

=l² - 3l + 2 – 1 = 0

l² - 3l + 1 = 0,

,

,

,

.

 

Контрольные вопросы:

1. Эллипс. Фокусы, фокальные радиусы, большая и  малая полуоси, центр, эксцентриситет  эллипса.

2. Каноническое  уравнение эллипса.

3. Гипербола.  Фокусы, фокальные радиусы, действительная  и мнимая полуоси, основной  прямоугольник, асимптоты, эксцентриситет гиперболы.

4. Каноническое  уравнение гиперболы.

5. Парабола. Фокус,  фокальный радиус, параметр, директриса  параболы.

6. Общее уравнение  кривой 2-го порядка.

7. Характеристическая  квадратичная форма.

8. Инвариант,  семиинвариант.

 

Контрольные задания:

1. Найти квадратичную форму, соответствующую уравнению кривой 2-го порядка и сделать чертёж:

а)29x² - 24xy + 36y² + 82x - 96y - 91 = 0,

б)16х²-9у²-64х-18у+199=0,

в)2х²+2у²-6х+10у-17=0,

2. Показать,  что уравнение 5x² + 9y² -30x + 18y + 9 = 0 представляет собой уравнение эллипса. Найти центр, оси, вершины, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.

3. Показать, что  уравнение 16x² - 9y² - 64x - 54y – 161 = 0 представляет собой уравнение гиперболы.  Найти координаты центра, вершин, фокусов, эксцентриситет и асимптоты гиперболы.

4. Показать, что  уравнение 4x² + 4x + 3y – 2 = 0 представляет собой уравнение параболы. Найти вершину, фокус, уравнения оси и директрисы этой параболы.

 

Задания для домашней работы:

Найти квадратичную форму, соответствующую  уравнению кривой 2-го порядка и сделать чертёж:

а) х²+у²+6х-4у-3=0,

б)3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0,

в)x² + 2xy - y² + 8x + 4y – 8 = 0.