Кратные и криволинейные интегралы

Контрольная работа 7

Кратные и криволинейные  интегралы

Вариант 7

(Задания  №267, 277) 

Задача 267. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела ограниченного заданными поверхностями. 

 

      Решение. 

      Заданное  тело Т представлено на рис. 1 «криволинейной» призмой . Снизу тело Т ограничено областью D – частью плоскости z = 0   (или хОу).

 Плоские боковые  поверхности  − соответственно части плоскостей . Сверху тело Т ограничено поверхностью – частью параболического цилиндра .

 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 

      Рис. 1      Рис. 2 
 

     Поясним построение поверхности О₁С₁С₂О₂. Уравнение не содержит переменной х. Рассмотрим его на плоскости уОz, где оно определяет параболу (линия – часть этой параболы). Переместим эту параболу вдоль оси Ох и получим цилиндрическую поверхность . 
 

Объем тела Т равен двойному интегралу:  

. 
 

      Область D изображена на рис. 2. Расставим пределы интегрирования и получим двукратный интеграл . 

 При вычислении внутреннего интеграла по х с переменной у обращаемся как с константой: 
 

ед. куб. 

  

      Выполним  проверку. Площадь основания призмы

. Значит, средняя  высота призмы  . 
 

Задачи 277. Вычислить работу силового поля при обходе против часовой стрелки треугольного контура с вершинами . 

     Р е ш е н и е.

     Заданный  контур , составленный сторонами треугольника , изображен на рис. 3.

     Найдем  уравнение стороны АВ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: 
 
 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 

       Рис. 3

       

      , y-1=x-1 или y=x

     Найдем  уравнение стороны ВС

       

      , y=-3x+8  

     По  формуле (2.24) получим 

     Разобьем  этот интеграл по замкнутому контуру  на три интеграла, соответствующих отрезкам АВ, ВС, СА:

+ +  

     Учтем, что на отрезке

     АВ  y=х,   dx,   х изменяется от 1 до 2;

     ВС   y=-3x+8,   -3dx,   х изменяется от 2 до 1;

     СА x=1, dx=0, y изменяется от 5 до 1.

     Тогда

+ + = + = + = )=-8 
 
 
 

 

Контрольная работа 8

Ряды

Вариант 6

(Задания  №286, 296, 306)

Задача 286. Задан числовой ряд . Составить формулу общего члена ряда. Вычислить частичные суммы ряда . Вычислить сумму ряда. 

      Р е ш е н и е.

      Члены заданного ряда: , , .

Формула общего члена ряда: . Например, =

= .

      Вычислим  частичные суммы ряда:

2;

2,429

  2,521

  + 2,5407

  + + 2,5449

  + + + =2,5458

      Результаты  вычислений, представленные на рис. 4, показывают, что с увеличением п  частичные суммы ряда  приближаются  к числу 2,6,т. е.

2,6. Значит, сумма заданного ряда S = 2,6. 

Рис. 4 

          Полученный результат можно проверить.  Заданный числовой ряд определяет  сумму членов бесконечной убывающей  геометрической прогрессии ,..., ,… с первым членом   и знаменателем . Известно, что сумма членов этой прогрессии .

     Итак, . 

Задача 296. Вычислить приближенно с точностью функцию Лапласа при заданном значении аргумента   .

     

      Р е ш е н и е.

      Используем  ряд (2.34) в виде 

.

     При получим:

 

      Степенные ряды внутри интервала  сходимости можно интегрировать  почленно. Значит,

=

=

   Сколько членов ряда необходимо учесть, чтобы  обеспечить заданную точность ?

      Если  учтем три члена, то отброшенная часть составляет ошибку . Итак, ошибка ряда равна модулю суммы знакочередующегося ряда . Его члены по модулю убывают и общий член стремится к нулю. Значит, по теореме Лейбница сумма этого ряда меньше его первого члена, т. е. < , и заданная точность будет обеспечена.

      Таким образом, с заданной точностью находим:

. 

Задача 306. Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши. 

З а  д а ч а 301. Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши .

      Р е ш е н и е.

      Из  уравнения видно, что неизвестная  функция  имеет производные любых порядков. Значит, ее можно разложить в ряд Маклорена: 

 

      Из  заданного уравнения находим:

.

С учетом начальных условий    при х = 0  получаем .

     Из  заданного уравнения  находим (учтем, что произведение необходимо дифференцировать по формуле ):

      . 

     При

       =

     =

     Подставим найденные значения в формулу

 и получим искомое решение:

.