Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1

Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в один ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности: P(A) = , где K – число благоприятствующих событий, N – число общих исходов.

В нашем случае:

N = 10! = 3628800

K = KА × KМ × KТ × KЕ × EИ × EК = 3! × 2! × 2! × 1! × 1! × 1! = 24

Получим:

P(A) = = 0,0000066

Ответ: 0,0000066.

 

 

Задание 2

Вероятность повреждения электросети на участке А протяженностью 21 км – 0,25, на участке В протяженностью 18 км – 0,1, на участке С протяженностью 10 км – 0,15. а) найти вероятность повреждения электролинии. б) произошло повреждение электролинии. Найти вероятность того, что это повреждение – на участке А.

Решение:

Обозначим события:

А = «произошло повреждение электролинии»

Н1 = «повреждение произошло на участке А»

Н2 = «повреждение произошло на участке В»

Н3 = «повреждение произошло на участке С»

По условию  P(Н1) = , P(Н2) = ,  P(Н3) = ,

P(A|Н1) = 0,25; P(A|Н2) = 0,1; P(A|Н3) = 0,15.

а) по формуле полной вероятности имеем:

P(A) =       =

= × 0,25 + × 0,1 + × 0,15 = (5,25 + 1,8 +1,5) 0,1745

б) воспользуемся формулой Байеса:

P(Нi|A) =

P(Н1|A) = = 0,6140

Ответ: а) 0,1745; б) 0,6140.

 

 

Задание 3

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

Решение:

Воспользуемся следствием из интегральной теоремы:

Pn(a, b) φ(x2) – φ(x1), где x2 = , x1 =

В нашем случае n = 1000, a = 500, b = 550, p = 0,51;

q = 1 – p = 1 – 0,51 = 0,49. Получим:

x2 = 2,53

x1 = - 0,63

Получим Р1000 (500; 550) φ(2,53) – φ(- 0,63) = 0,4943 + 0,2357 = 0,73

Ответ: 0,73.

 

Задание 4

Из 30 приборов, испытываемых на надежность, 5 высшей категории. Наугад взяли 4 прибора. Случайная величина ξ – число приборов высшей категории среди отобранных. Для заданной дискретной случайной величины ξ найти: 1) закон распределения; 2) функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) математическое ожидание Мξ; 4) дисперсию Dξ; 5) среднее квадратичное отклонение σξ.

Решение:

1) Найдем закон распределения  данной случайной величины х. Эта величина может принимать 5 значений х0 = 0, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4. Вычислим вероятности этих значений, при этом будем пользоваться формулой гипергеометрического распределения:

= , где K – число приборов высшей категории; N – общее число приборов; n – число приборов, выбранных наугад.

n = 4; N = 30; K = 5

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

Закон распределения:

X	0	1	2	3	4
p

 

 

2) Найдем функцию распределения F(х):

при х 0 F(х) = 0

при 0 х 1 F(х) =

при 1 х 2 F(х) = + =

при 2 х 3 F(х) = + + =

при 3 х 4 F(х) = + + + =

при х 4 F(х) = + + + + = 1

Построим ее график:

 

3) Математическое ожидание Мξ:

Мξ =        = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × +

+ 4 ×  0,6667

4) Дисперсия Dξ:

Dξ = Мξ2 – (Мξ)2

Мξ2 =       = 02 × + 12 × + 22 × + 32 × +

+ 42 × 0,9425

Dξ = 0,9425 – 0,66672 = 0,4980

5) Среднее квадратичное отклонение:

σξ = = = 0,7057

Ответ: 3) Мξ = 0,6667; 4) Dξ = 0,9425; 5) σξ = 0,7057

Задание 5

Дана плотность распределения:

p(x) =

случайной величины ξ.

Найти:

1. Параметр с;
2. Функции распределения F(x);
3. Математическое ожидание Мξ;
4. Дисперсию Dξ;
5. Вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок .

Решение:

1) Определим параметр  с из условия: .

+ + = c = – с =                = – с = – с (– 1 – 0) = с = 1 с = 1

2) Найдем функцию распределения  F(x):

1) если   x , то F(x) = = 0

2) если   , то F(x) = + = =      = – = –

3) если x, то F(x) = + + =                 = = – = – (– 1 – 0) = 1

 

Следовательно, F(x) =

3) Математическое ожидание Мξ:

Мξ = + + = = – = – x ×   + = –() + = – () + () = + (0 – 1) = – 1 2,14

4) Дисперсия Dξ:

Dξ = Мξ2 – (Мξ)2

Мξ2 = + + = – = – ×   + = – () + 2 = – () + 2= + 2 × + 2 = – + 2(–1 – 0) = – – 2 4,7196

Dξ = 4,7196 – 2,142 = 0,14

5) P = F – F = – + = + 0 = 0,5

Ответ:

1) с = 1;  4) Dξ = 0,14;

2) F(x) = ;  5) P = 0,5.

3) Мξ = 2,14;

Задание 6

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

а) найти размах варьирования и построить интервальный вариационный ряд;

б) построить полигон частот, гистограмму относительных частот;

в) вычислить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти числовые характеристики выборки

, , , , S.

д) считая выборку соответствующей нормальному распределению, найти доверительные интервалы для математического ожидания при надежности

е) приняв в качестве нулевой гипотенузу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости а = 0,05.

30,2	51,9	43,1	58,9	34,1	55,2	47,9	43,7	53,2	34,9
47,8	65,7	37,8	68,6	48,4	67,5	27,3	66,1	52,0	55,6
54,1	26,9	53,6	42,5	59,3	44,8	52,8	42,3	55,9	48,1
4,5	69,8	47,3	35,6	70,1	39,5	70,3	33,7	51,8	56,1
28,4	48,7	41,9	58,1	20,4	56,3	46,5	41,8	59,5	38,1
41,4	70,4	31,4	52,5	45,2	52,3	40,2	60,4	27,6	57,4
29,3	53,8	46,3	40,1	50,3	48,9	35,8	61,7	49,2	45,8
45,3	71,5	35,1	57,8	28,1	57,6	49,6	45,5	36,2	63,2
61,9	25,1	65,1	49,7	62,1	46,1	39,9	62,4	50,1	33,1
33,3	49,8	39,8	45,9	37,3	78,0	64,9	28,8	62,5	58,7

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

а)

4,5	20,4	26,9	25,1	27,3	27,6	28,1	28,4	28,8	29,3
30,2	31,4	33,1	33,3	33,7	34,1	34,9	35,1	35,6	35,8
36,2	37,3	37,8	38,1	39,5	39,8	39,9	40,1	40,2	41,4
41,8	41,9	42,3	42,5	43,1	43,7	44,8	45,2	45,3	45,5
45,8	45,9	46,1	46,3	46,5	47,3	47,8	47,9	48,1	48,4
48,7	48,9	49,2	49,6	49,7	49,8	50,1	50,3	51,8	51,9
52,0	52,3	52,5	52,8	53,2	53,6	53,8	54,1	55,2	55,6
55,9	56,1	56,3	57,4	57,6	57,8	58,1	58,7	58,9	59,3
59,5	60,4	61,7	61,9	62,1	62,4	62,5	63,2	64,9	65,1
65,7	66,1	67,5	68,6	69,8	70,1	70,3	70,4	71,5	78,0

 

 

Размах варьирования: = = 78,0 – 4,5 = 73,5

h = 7 – число интервалов

h = = = 10,5

б) Полигон частот построим, используя таблицу:

N	Частный интервал		Варианты	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1	4,5	15	9,75	1	0,10
2	15	25,5	20,25	3	0,29
3	25,5	36	30,75	16	1,52
4	36	46,5	41,25	24	2,29
5	46,5	57	51,75	29	2,76
6	57	67,5	62,25	19	1,81
7	67,5	78	72,75	8	0,76