Контрольная работа по "Высшей математике"

В-38

2,38

5, 38

35, 75-6

18-в

19-6

45-в

22-а

 

Тема 2.

38. Каков вероятностный  смысл параметров m, и s, входящих в формулу плотности вероятности нормально распределённой случайной величины? Нормальная кривая распределения случайной величины, зависимость её положения и формы от параметров распределения.

 

Нормальное распределение

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов  распределения особое положение. Это  — наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид:

где m и s – некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения. Обычно обозначают N(x; m, s);

n (m, s).

Кривая плотности распределения  нормального закона имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке и.; по мере удаления от точки m, плотность распределения падает, и при х ® ±¥ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. График плотности имеет следующий вид:

Рис. 3. Нормальное распределение {плотность)

Выясним смысл параметров m, и s нормального распределения. Центром симметрии распределения является m. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х - m) на обратный выражение

не меняется. Если изменять m, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Параметр m характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Рассмотрим как изменяется график функции в зависимости от изменения параметров:

а) если изменяется параметр и, а параметр s остается постоянным  
(m₁ < m₂ <m₃)

Рис. 4. Нормальное распределение (изменение m)

Если параметр m увеличивается (уменьшается), то график сдвигается влево (вправо).

Параметр s характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это ее характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна s; при увеличении s максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении s кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении s кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой:

Рис. 5. Нормальное распределение (изменение s)

На рисунке показаны 3 нормальные кривые при m = 0;

Изменение параметра а равносильно  изменению масштаба кривой распределения - увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

Функция плотности нормального  распределения f(x) с параметрами  
m = 0, s = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины, а его график - стандартной кривой Гаусса.

Рис. 6. Функции плотности  стандартного нормального распределения 

Функция распределения имеет вид:

Тема 5.

38. Как различаются  статистическая и корреляционная  зависимости? Линейная и нелинейная  корреляция. Уравнение регрессии.

Пусть у нас имеются n серии значений двух параметров X и Y: (x₁;y₁),(x₂;y₂),...,(x_n;y_n). Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Как известно, случайные величины X и Y могут быть либо зависимыми, либо независимыми. Существуют следующие формы зависимости – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической. Дело в том, что на формирование значений случайных величин X и Y оказывают влияние различные факторы. Под воздействием этих факторов и формируются конкретные значения X и Y. Допустим, что на Х и У влияют одни те же факторы, например Z₁, Z₂, Z₃, тогда X и Y находятся в полном соответствии друг с другом и связаны функционально. Предположим теперь, что на X воздействуют факторы Z₁, Z₂, Z₃, а на только Y и Z₁, Z₂. Обе величины и X и Y являются случайными, но так как имеются общие факторы Z₁ и Z₂, оказывающие влияние и на X и на Y, то значения X и Y обязательно будут взаимосвязаны. И связь это уже не будет функциональной: фактор Z₃, влияющий лишь на одну из случайных величин, разрушает прямую (функциональную) зависимость между значениями X и Y, принимаемыми в одном и том же испытании. Связь носит вероятностный случайный характер, в численном выражении меняясь, от испытания к испытанию, но эта связь определенно присутствует и называется статистической. При этом каждому значению X может соответствовать не одно значение Y, как при функциональной зависимости, а целое множество значений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Зависимость случайных  величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения  другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если изменение одной  из случайных величин влечет изменение  среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные коррреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Примерами коррреляционной зависимости  являются: зависимость массы от роста:  
- каждому значению роста (X) соответствует множество значений массы (Y), причем, несмотря на общую тенденцию, справедливую для средних, большему значению роста соответствует и большее значение массы – в отдельных наблюдениях субъект с большим ростом может иметь и меньшую массу. - зависимость заболеваемости от воздействия внешних факторов, например, запыленности, уровня радиации, солнечной активности и т.д. - количество (X) вводимого объекту препарата и его концентрация в крови (Y). - между показателями уровня жизни населения и процентом смертности; - между количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене. Именно корреляционные зависимости наиболее часто встречаются в природе в силу взаимовлияния и тесного переплетения огромного множества самых различных факторов, определяющих значения изучаемых показателей.

Корреляционную зависимость Y от X можно описать с помощью уравнения  вида:

y_x=f(x) (1)

где y_x - условное среднее величины Y, соответствующее значению x величины X, а f(x) некоторая функция. Уравнение (1) называется выборочным уравнением регрессии Y на X. Функцию f(x) называют выборочной регрессией Y на X, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X.

Совершенно аналогично выборочным уравнением регрессии X на Y является уравнение: x_y=φ(y)

В зависимости от вида уравнения регрессии и формы соответствующей линии регрессии определяют форму корреляционнной зависимости между рассматриваемыми величинами – линейной, квадратической, показательной, экспоненциальной.

Важнейшим является вопрос выбора вида функции регрессии f(x) [или φ(y)], например линейная или нелинейная (показательная, логарифимическая и т.д.)

На практике вид функции  регрессии можно определить, построив на координатной плоскости множество  точек, соответствующих всем имеющимся  парам наблюдений (x;y).

 

Рис. 1. Линейная регрессия  значима. Модель Y=a+bX.

 

Рис. 2. Линейная регрессия незначима. Модель Y=

 

Рис. 3. Линейная регрессия значима. Нелинейная модель (y=ax²+bx+c)

Например, на рис.1. видна  тенденция роста значений Y с ростом X, при этом средние значения Y располагается  визуально на прямой. Имеет смысл  использовать линейную модель (вид  зависимости Y от X принято называть моделью) зависимости Y от X. На рис.2. средние значения Y не зависят от x, следовательно линейная регрессия незначима (функция регрессии постоянна и равна  ). На рис. 3. прослеживается тенденция нелинейности модели.

Линейная и  нелинейная корреляция

Корелляция это зависимость. Линейная корелляция соответственно линейная зависимость. Коэффициент линейной корелляции показывает существует или  нет и насколько линейная зависимость между двумя случайными величинами (т.е. такая когда приращения одной пропорциональны приращениям другой - на графике изображается прямой линией). Этот коэфффициент изменяется от -1 до 1 и показывает меру линейной зависимости. Когда 0 - зависимости нет, 1 (или -1) - зависимость функциональная. Знак значения для меры зависимости не имеет, отрицательное значение коэффициента указывает что с увеличением одной величины вторая уменьшается. Но может быть так что зависимость есть а коэффициент линейной корелляции близок к нулю. Это значит просто что зависимость не линейна (точнее плохо приближается линейной зависимостью). Считать не пробовал, но думаю что например в гармонических колебаниях для зависимости между временем и величиной отклонения от положения равновесия будет именно такой случай (изображается синусоидой). Для таких случаев в статистике существуют другие показатели меры зависимости. (Названий и формул для них не помню, но при желании можно найти в книгах по мат. статистике).

Уравнение регрессии.

Уравнение y = y(x), где  , в котором x играет роль независимой переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график – линией или кривой регрессии. Наиболее простым является случай, когда регрессия Y по X линейна.

 

 

Тема 1.

35. Гипертония  является следствием чрезмерно  большого минутного объема крови  или большого периферического сопротивления, их вероятности соответственно равны 0,2 и 0,4. Найти вероятность того, что работа сердца будет происходить:

1) при повышенном артериальном  давлении;

2) при пониженном или  нормальном давлении.

1) при повышенном артериальном  давлении;

А – большой минутный объем

В – большое периферическое сопротивление

Р(А) = 0,2

Р(В) = 0,4

С – работа сердца с повышенным давлением

С = А È В  Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р (А · В) = 0,2 +0,4 – 0,08 = 0,52

2) при пониженном или  нормальном давлении.

D – пониженное или нормальное

D = `С;  Р(D) = 1 – Р(С) = 0,48

 

75. В 7 аптечках  находятся одинаковые по массе  и размерам таблетки. В трёх - по 7 зеленых и 3 желтых таблетки (это  аптечка состава Н₁). В двух других аптечках (состава Н₂) - по 8 зеленых и 2 желтых таблетки. В двух аптечках (состава Н₃) - 5 зеленых и 5 желтых таблеток. Наудачу выбирается аптечка и из нее извлекается таблетка, которая оказалась зеленой. Какова вероятность того, что зеленая таблетка извлечена из аптечки

2) второго состава?

Решение

Испытание – наудачу выбирается аптечка и из нее извлекается таблетка.

Событие А – таблетка зеленая. Гипотезы В₁ – выбрана аптечка первого состава, В₂ – выбрана аптечка второго состава, В₃ – выбрана аптечка третьего состава.

, , . Эти гипотезы образуют полную группу и сумма их вероятностей равна 1.

Условная вероятность  , , .

 

Условную вероятность гипотезы В₂ при условии, что А наступило найдем по формуле гипотез (Бейеса).

Ответ: 0,34.

 

Тема 2.

18. Дискретная  случайная величина X имеет закон  распределения:

X	0,2	0,4	0,6	0,8	1
Р	р1	0,2	0,4	0,2	0,1

Чему равна вероятность  р₁= Р(Х = 0,2)? Построить многоугольник распределения.

3) Найти математическое  ожидание и дисперсию случайной  величины

Y = 3Х - 2 .

Решение

Т.к. сумма вероятностей случайной  величины равна 1, т.е. , то

Значит закон распределения  имеет вид

X	0,2	0,4	0,6	0,8	1
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

3) у = 3Х-2

Y	-1,4	-0,8	-0,2	0,4	1
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

 

 

Тема 3.

19. При подсчете  количества листьев на каждом  из 30 лекарственных растений определенного  вида получены следующие результаты: 10, 13, 11, 11, 7, 10, 8, 10, 11, 10, 9, 10, 11, 12, 8, 10, 9, 10, 12, 7, 10, 15, 11, 11, 6, 10, 9, 10, 10, 11.

2) Представить эти  данные в виде интервального  статистического ряда. Построить  гистограмму относительных частот. Вычислить числовые характеристики выборки.

Решение.

Выявим частнотность обнаружения признака.

Xi	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ni	1	2	2	3	11	7	2	1	0	1