Контрольная работа по "Высшей математике"

 

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Сибирский государственный  индустриальный университет»

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила

Статина В.А

Группа ЭНЭЗ-12

 

 

 

 

 

 

 

 

Новокузнецк 2012

 

 

 

Уравнение одной из сторон некоторого угла, образованного  двумя прямыми, имеет вид: 2х – 9у – 3 = 0, а биссектрисой угла служит прямая 4х – у + 11 = 0. Составьте уравнение второй стороны угла.

 

Решение:

 

Выберем произвольную точку на биссектрисе: В(-2;3). Через  неё проведем прямую перпендикулярно  биссектрисе:

_{, она пересечется  с известной стороной  в точке, координаты  которой найдем, решив  систему уравнений:}

 

          _А(6;1)

В - середина АС 

                                

 

Найдем точку  пересечения стороны и биссектрисы  угла из системы их уравнений:

          

D (-3;-1)

Уравнение прямой, проходящей через точки С  и  D:

Ответ:

.

 

2) Установите, что уравнение у = 4х²- 8х + 7 определяет параболу, найдите

координаты  её вершины и её параметр. Постройте  эту линию.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

   _{или   -   вершина  параболы – (1;3).}

_{Параметр  параболы:} 

 

 

 

4) Найдите решение уравнения  A(x) = b, где b = (−4, 7, 2).

Решение:

 

с помощью обратной матрицы:

 

                 , где ,   .

            ; 

 

  

Алгебраические  дополнения:

 

                           ∆_1,1=(-5•(-3)-2•3)=9

                             ∆_1,2=-(4•(-3)-(-2•3))=6

                             ∆_1,3=(4•2-(-2•(-5)))=-2

                           ∆_2,1=-(3•(-3)-2•4)=17

                            ∆_2,2=(-1•(-3)-(-2•4))=11

                            ∆_2,3=-(-1•2-(-2•3))=-4

                             ∆_3,1=(3•3-(-5•4))=29

                             ∆_3,2=-(-1•3-4•4)=19

                         ∆_3,3=(-1•(-5)-4•3)=-7

           .

Проверка:     

Ответ: (2,1,3).

 

 

5) Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка:

 

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

             

               

               -   собственное значение матрицы.

        при  получим систему:

          

при     - собственный вектор.

 

       Ответ:  -   собственное значение матрицы,

                    - собственный вектор.