Контрольная работа по "Вычислительной математике"

Задание 1.

 

Вычислить и определить погрешность результата.

 Определить верные цифры

 

 

U= p² ab²

               4

П = 3,14 ± 0,002; a= 54 ± 0.5 ; b= 0.235 ± 0.001

 

 

 

 

3,14		0,002		0,000637
54		0,5		0,009259
0,235		0,001		0,004255
7,350702				0,012661		0,093066

 

 

 

 

Где  7,350702 – U.

0,000637; 0,009259; 0,004255 – относительные  погрешности П, а ,b соответственно.

0,012661 – находим применяя  свойство относительной погрешности.

Абсолютная погрешность U = 0,093066.

Нахождение верных цифр:

U= 7,35702 ± 0,93

2 – 0,00001

0 – 0,001

7 – 0,01

5 – 0,1

7 – 1,0

7- верная цифра

 

Ответ: U=7,35702 ± 0,93 ; Верная цифра 7.

 

Задание 2

 

Отделить графически корень уравнения, применяя метод Ньютона  найти приближенное значение корня  с точностью 0,001

17х³ + 7х+9=0

Задаем отрезок [-5 ; 5], шаг – 1.

-5	-137
-4	-75
-3	-37
-2	-17
-1	-9
0	-7
1	-5
2	3
3	23
4	61
5	123

 

Строим график

 

Интервал изоляции  [-2 ; 2]

Применяя метод Ньютона  найдем приближенное значение корня  с точностью 0,001

F(x) = 17х³ + 7х+9

F^/(x) = 51x² + 7

F^//(x) = 102x

X₁ = 2

X_n+1 = X_n - (17х³_n + 7х _n +9) / (51x² _n + 7)

 

2
1,2464455
0,65914532
0,02527389
-1,27968038
-0,8865744
-0,69431975
-0,64523364
-0,64228285
-0,64227265
-0,64227265

 

 

 

Х^* = -0,64227265 ± 0,001

 

Х^* = -0,642

 

Ответ: Х^* = -0,642

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

 

Используя схему Гаусса, решить систему уравнений Вычисления проводить с четырьма знаками  после запятой . Вычислить невязки.

 

3,11х₁- 1,66х₂ – 0,60х₃ = -0,92

-1,65 х₁+ 3,51х₂ – 0,78 х₃ = 2,57

0,60 х₁ + 0,78 х₂ – 1,87х₃ = 1,65

 

 

3,11	-1,66	-0,6	-0,92
-1,65	3,51	-0,78	2,57		-0,53055
0,6	0,78	-1,87	1,65		0,192926
3,11	-1,66	-0,6	-0,92
0	2,629292605	-1,098328	2,081897106
0	1,100257235	-1,7542444	1,827491961		0,418461
3,11	-1,66	-0,6	-0,92
0	2,629292605	-1,098328	2,081897106
0	0	-1,2946366	0,956298566		x1=	-0,18039
					x2=	0,483249
					x3=	-0,73866

 

 

 

 

Проверка: вычисляем невязки 

 

1,11022E-16

0,000

0,000

 

 

Ответ: X₁= -0,18; X₂= 0,48; X₃= -0,74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание  4

 

Функция задана таблицей. С помощью интерполяционного  многочлена Лангранжа вычислить  приближенное значение функции в  указанной точке Хо.

 

Вариант3 7 1,05

 

 

 

xi	1,01	1,03	1,08	1,14
yi	1,19	1,22	1,30	1,40

 

 

 

1,01	1,19	-3090,15		1,91
1,03	1,22	5229
1,08	1,3	-2904
1,14	1,4	766,1538
			-0,48769231

 

Ответ: Приближенное значение функции в точке Х_о= -0,488

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5

 

1.Вычислить точное  значение интеграла по формуле  Ньютона – Лейбница.

2. Вычислить приближённое значение интеграла по формуле левых прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей  и производя вычисление с округлением до четвертого десятичного знака. Найти относительную погрешность в процентах.

3. Вычислить приближенное значение интеграла по формуле Симпсона разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисление с округлением до четвертого десятичного знака. Найти относительную погрешность в процентах.

 

 Вариант 47.

 

 

Точное значение интеграла  по формуле Ньютона – Лейбница равно 20.

 

 

1	-2	1
2	1	4
3	2,1544	2
4	2,6684	4
5	3,0366	2
6	3,3322	4
7	3,5830	2
8	3,8030	4
9	4	1
			17,5776		20,9208
			13,78%		4,40%

 

Ответ: точное значение интеграла  по формуле Ньютона – Лейбница равно 20; приближённое значение интеграла по формуле левых прямоугольников равно 17,5776; относительная погрешность составила 13,78%; приближенное значение интеграла по формуле Симпсона равно 20,9208 и относительная погрешность составила 4,40%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6

 

Экспериментально получены пять значений функции  y = f(x) При пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов. Найти функцию y = ax+b аппроксимирующую функцию y= f(x). Сделать чертеж,  на котором в прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции y = ax+b

 

57

Xi	1	2	3	4	5
Yi	5.2	6.2	4.7	2.7	3.2

 

 

1	5,2
2	6,2
3	4,7
4	2,7
5	3,2

 

Ответ: у= -0,75х + 6,65