Контрольная работа по "Вычислительная математика"

Муниципальное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Южно - Уральский профессиональный институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине

Вычислительная математика

Студентов заочной формы обучения

направление подготовки 230100.62 «Информатика и вычислительная техника»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2012

 

 

 

 

1. Метод Гаусса.

1. В электронных таблицах MS Excel составить такую систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, чтобы коэффициенты системы и свободные члены были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.
2. Решить полученную систему уравнений методом исключений Гаусса с выбором главного элемента.

Решение.

Составили систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

Алгоритм метода главных элементов состоит в следующем:

Среди элементов матрицы aij, j = 1, n выбираем наибольший по модулю а23 = 10.

Матрицу М преобразуем: из каждой i-ой неглавной строки вычтем почленно главную строку, умноженную на mt. В результате получится матрица, у которой все элементы главного столбца, за исключением самого главного элемента равны нулю.

m1 = 0,9;  m3 = 0,6;  m4 = 0,1;  m5 = 0,2. 

Получим новую матрицу M1 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент  а31 = 8,8.

Получим новую матрицу M2 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М1 главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент  а21 = –6,25. 

Получим новую матрицу M3 с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М2 главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент  а11 = –5. 

Объединим все главные строки, начиная с последней строки.

Полученная матрица, эквивалентная исходной.

4,4167х5 = 12,7465   х5 = 2,5925;

–5х4 = 1,9091 – 1,5455х5         х4 = 0,4195;

–6,25х2 = 4,0341 + 0,25х4 – 2,4205 х5     х2 = 0,3418;

8,8х1 = 4,5 – 2,2х2 – 2,2х4 – 2,7х5          х1 = –0,4744;

10х3 = 5 – 2х1 – 8х2 – 8х4 – 3х5                х3 = –0,7919;

Ответ: х1 = –0,4744;  х2 = 0,3418;  х3 = –0,7919; х4 = 0,4195;  х5 = 2,5925.

2. Интерполяционный многочлен Ньютона.

1. В электронных таблицах MS Excel задать таблично функцию в точках 0, 1, 2, …, 10 так, чтобы ее значения были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.
2. Для полученной функции построить интерполяционный многочлен Ньютона.
3. Вычислить значения полученного интерполяционного многочлена в точках

0, 1, 2, …, 10.

Решение.

Пусть для функции y = f (x) заданы значения yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных:

xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции.

Необходимо найти полином Pn (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения:

Pn (xi ) = yi,                         i=0, ..., n.   (1)

Интерполирующий полином ищется в виде:

Рn(X) = a0 + a1(X – X0) + a2(X – X0)(X – X1) + … + an(X – X0)…(X – Xn–1) (2)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:

Pn(x0)=y0,

Pn(x1)=y1,

.      .       .       .

Pn(xn)=yn.

Найдем коэффициент а1.

Для определения а2, составим конечную разность второго порядка.

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем:

   (3)

где xi , yi – узлы интерполяции;

x – текущая переменная;

h – разность между двумя узлами интерполяции h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона.

 

С помощью функции-генератора случайных чисел задаем таблицу значений функцию в точках 0, 1, 2, …, 10.

 

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	9	2	7	9	6	3	4	8	5	4

 

Составим таблицу конечных разностей функции.

 

х	у	Dу	D2у	D3у	D4у	D5у	D6у	D7у	D8у	D9у	D10у
0	4	5	-12	24	-39	52	-58	56	-50	40	6
1	9	-7	12	-15	13	-6	-2	6	-10	46
2	2	5	-3	-2	7	-8	4	-4	36
3	7	2	-5	5	-1	-4	0	32
4	9	-3	0	4	-5	-4	32
5	6	-3	4	-1	-9	28
6	3	1	3	-10	19
7	4	4	-7	9
8	8	-3	2
9	5	-1
10	4

 

Воспользуемся формулой (3)

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

 

Вычислим значения полученного интерполяционного многочлена.

Р10(0) = 4  Р10(6) = 2,9994

Р10(1) = 9  Р10(7) = 3,9964

Р10(2) = 2  Р10(8) = 7,9875

Р10(3) = 7  Р10(9) = 4,8935

Р10(4) = 9  Р10(10) = 4,4251

Р10(5) = 6

 

3. Численное интегрирование.

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k – номер варианта).

• используя метод интегрирования по частям, вычислить интеграл ;
• используя метод прямоугольников вычислить этот же интеграл с точностью 0,1;
• используя метод трапеций вычислить этот же интеграл с точностью 0,1.

Решение.

Используя метод интегрирования по частям, вычислим интеграл

I » 2,412×1016

Для расчетов составим расчетную таблицу.

По формуле прямоугольников

Пусть f(х) = , тогда разобьем отрезок интегрирования на 20 частей, с шагом h= и составим таблицу, в которой найдены середины отрезков , i = 1, 2, … , 10 и значение  функции в этих точках .

 

№	xi			уi
	-1	-0,85	-0,0006	-0,00005
	-0,7	-0,55	-0,0122	-0,0032
	-0,4	-0,25	-0,0922	-0,0380
	-0,1	0,05	0,2229	-0,1328
	0,2	0,35	14,2645	2,7967
	0,5	0,65	168,3946	54,4614
	0,8	0,95	574,4374	406,5242
	1,1	1,25	-12589,4758	-1046,5234
	1,4	1,55	-2,42E+05	-6,37E+04
	1,7	1,85	-1,79E+06	-7,46E+05
	2	2,15	4,90E+06	-2,48E+06
	2,3	2,45	2,85E+08	5,67E+07
	2,6	2,75	3,31E+09	1,08E+09
	2,9	3,05	1,07E+10	7,89E+09
	3,2	3,35	-2,55E+11	-2,29E+10
	3,5	3,65	-4,80E+12	-1,27E+12
	3,8	3,95	-3,48E+13	-1,47E+13
	4,1	4,25	1,07E+14	-4,63E+13
	4,4	4,55	5,68E+15	1,15E+15
	4,7	4,85	6,49E+16	2,13E+16
	5		7,07E+16

 

По формуле средних прямоугольников получим:

×(-0,0006 – 0,0122+ … +1,15E+15 + 2,13E+16=

= 0,3×(7,07E+16) » 2,121×1016

 

По формуле трапеции получим:

×( –0,0032 –

– 0,038+ … +1,15E+15 + 2,13E+16 = 0,3×(9,90E+16) » 2,969×1016

 

Ответ: интеграл равен:

2,412×1016 – по методу интегрирования по частям;

2,121×1016 – по методу прямоугольников;

2,969×1016 – по методу трапеций.

 

4. Решение нелинейных уравнений.

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k – номер варианта).

Найти один корень уравнения:

 

• методом дихотомии;
• методом касательных.

Решение.

f(х) = ,

Для нахождения минимума и максимума функции необходимо вычислить 1-ую производную функции.

Так как в задании требуется найти только одни корень, то можно уменьшить заданный интервал до интервала, в котором будет находиться минимум и максимум функции.

Построим график первой производной на интервале [–1; 1] (рис. 1).

На интервале [–0,5; 0] производная меняет знак с «–»  на «+», значит на этом интервале расположена точка минимума.

На интервале [0,5; 1] производная меняет знак с «+»  на «–», значит на этом интервале расположена точка максимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравняем f ¢(x) нулю и вычислим корень уравнения. Так как е8х > 0, то для нахождения точки экстремума надо решить уравнение 8sin3x + cos3x = 0.

Обозначим F(x) = 8sin3x + cos3x и решим уравнение методом дихотомии.

 

Метод дихотомии заключается в следующем.

1. Задать интервал [а, b], на котором корень уравнения существует. Функция на границах данного интервала должна иметь разные знаки, т.е. F(a) F(b)<0.

2. Найти середину интервала по  формуле 

3. Выбрать из полученных двух  половин: [а, Х] и [Х, b] интервала [а, b] ту, на которой находится корень по условию F(a) F(X)<0.

Если данное условие выполняется, то корень находится на [а, Х], правую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: b=Х. Перейти в п.2.

Иначе: корень – на интервале [Х, b]; тогда левую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: а=Х. Перейти в п.2.

Зададим точность вычисления ε = 0,1.

 

Рассмотрим интервал [–0,5; 0].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F(-0,5) = 8sin(-1,5) + 3cos(-1,5) = -7,77

F(b) = F(0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

Функция на границах интервала имеет разные знаки, значит, решение лежит в указанном интервале.

Итерация 1.

Определяем середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке F(Х) = F(–0,25) = 8sin(–0,75) + 3cos(–0,25) = –3,26

Функция на границах интервалов [a, c] и [c, b] имеет разные знаки, значит, в каждом из этих интервалов есть корень.

| F(–0,25)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = –7,77×(–3,26) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = –0,25.

Итерация 2.

F(–0,125) = –0,14   | F(–0,125)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = –3,26×(–0,14) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = –0,125.

Итерация 3.

F(–0,0625) = 1,46   | F(–0,0625)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = –0,14×1,46 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = –0,0625.

Итерация 4.

F(–0,09375) = 0,66   | F(–0,09375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = –0,14×0,66 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = –0,09375.

Итерация 5.

F(–0,109375) = 0,26   | F(–0,109375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = –1,4×0,26 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = –0,09375.

Итерация 6.

F(–0,1171875) = 0,06   | F(–0,1171875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = –0,1171875.

fmin (–0,1171875) = –0,135

 

Ответ: x = –0,1171875; fmin (–0,1171875) = –0,135

 

Точку максимум определяем на интервале [0,5; 1].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F(0,5) = 8sin(1,5) + 3cos(1,5) = 8,19

F(b) = F(1) = 8sin(3) + 3cos(3) = –1,84

Итерация 1.

F(0,75) = 4,34   | F(0,75)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 8,19×4,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,75.

Итерация 2.

F(0,875) = 1,34   | F(0,875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 4,34×1,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 2,75.

Итерация 3.

F(0,9375) = –0,25   | F(0,9375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×(–0,25) < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = 0,9375.

Итерация 4.

F (0, 90625) = 0, 55   | F (2, 9375)| > 0, 1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×0,55 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,90625.

Итерация 5.

F(0,92875) = 0,15   | F(092875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 0,55×0,15 > 0.