Контрольная работа по "Математике"

 

 

Содержание

 

 

 

 

Задача 1                                                                                                             3

Задача 2                                                                                                             4

Задача 3                                                                                                             6

Задача 4                                                                                                             8

Задача 5                                                                                                           10

Задача 6                                                                                                           12

Литература                                                                                                      14

 

Задача 1

Произведено два выстрела по мишени. Событие Аi – попадание при i-ом выстреле (i=1,2). Выразите с помощью операций (сложения, умножения, нахождения противоположного события) над событиями А1 и А2 следующие события: 1) А – ни одного промаха; 2) В – ровно два попадания; 3) С – менее двух промахов.

Решение

А1 – попадание при первом выстреле;

А2 – попадание при втором выстреле;

1 – промах при первом выстреле;

2 – промах при втором выстреле.

1. В первом случае ни одного промаха, значит оба попадания, следовательно необходимо применить умножение, которое заключается в одновременном появлении событий, получаем:

А = А1*А2.

2. Ровно два попадания исключают промахи вообще, следовательно здесь так же операция умножения:

В = А1*А2.

3. Менее двух промахов, это либо один промах, либо ноль. Здесь необходимо применить операцию сложения, которая заключается в появлении хотя бы одного из событий, или всех событий вместе, получаем:

С = А1* +  1*А2 +  А1*А2.

Ответ:

1. А = А1*А2.
2. В = А1*А2.
3. С = А1* +  1*А2 +  А1*А2.

 

 

Задача 2

В двух партиях находится 95% и 70% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу отбирают по одному изделию из каждой партии. Каковы вероятности обнаружить среди них: 1) оба бракованных изделия; 2) одно доброкачественное и одно бракованное изделие; 3) хотя бы одно доброкачественное изделие?

Решение.

Испытание заключается в том, что отбирают по одному изделию из каждой партии.

Обозначим события, вероятности которых нам необходимо найти:

Е1: «оба бракованных изделия»;

Е2: «одно доброкачественное и одно бракованное изделие»;

Е3: «хотя бы одно доброкачественное изделие»;

Введем дополнительные события.

А: «из первой партии достали доброкачественное изделие»;

В: «из второй партии достали доброкачественное изделие».

Тогда получим:

: «из первой  партии достали бракованное изделие»;

: «из второй  партии достали бракованное изделие».

Выразим искомые события через вспомогательные события, используя операции сложения, умножения и противоположного события:

Е1 =

Е2 =  А* + *В

Е3 = А*В + Е2.

Вычислим по очереди нужные нам вероятности, предварительно получив:

Р(А) = = 0,95;

Р(В) = = 0,7;

Р() =;

Р() = 1 – 0,7 = 0,3.

Р(Е1) = Р (), так как события и независимы, то:

Р(Е1) = Р () = 0,05 * 0,3 = 0,015.

Р(Е2) = Р(А* +  *В), так как события А и В независимы, а события А* и *В несовместны, то получаем:

Р(Е2) = Р(А*) + Р(*В) = Р(А)*Р() + Р()*Р(В) = 0,95*0,3 + 0,05*0,7 =                    = 0,285+ 0,035 = 0,32.

Р(Е3) = Р(А*В) + Р(Е2) , так как события А и В независимы, получаем:

Р(Е3)= Р(А)*Р(В) + Е2= 0,95*0,7 + 0,32 = 0,665 + 0,32 = 0,985.

Ответ:

1. Вероятность того, что оба изделия бракованных составляет 0,015 или 1,5%.
2. Вероятность того, что одно доброкачественное и одно бракованное изделие – 0,32 или 32%.
3. Вероятность того, что хотя бы одно доброкачественное изделие – 0,985 или 98,5%.

 

 

 

 

Задача 3

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2.

1. Вычислить вероятность событий: В – есть один выигрышный билет; D - выигрышных билетов меньше трех; Е – есть хотя бы три выигрышных билета, если куплено 6 билетов.
2. Найти вероятность того, что выиграет меньше половины билетов, если куплено 100 билетов.

Решение.

1. По условию задачи р = 0,2, находим, что q = 1 – 0,2 = 0,8.

Для нахождения вероятности события В воспользуемся формулой Бернулли:

 

Для нашей задачи n=6, k=1, p=0,2, q=0,8, получаем:

 

Если выигрышных билетов меньше трех, это означает, что выигрышных билетов либо 2, либо 1, либо 0, значит:

Р(D) =

Если хотя бы три выигрышных билетов, значит, может выиграть три, четыре, пять или шесть билетов.

Р(Е) =

Можно было найти эту вероятность проще, если хотя бы три выигрышных, то точно 0, 1 и 2 проигравших, следовательно Р(Е) = 1-Р(D) = 1-0,901 = 0,099.

2. Если меньше половины, значит от 0 до 49 билетов.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где Ф(х) – функция Лапласа.

 

Тогда

 

 

Получаем

 

Ответ:

1. Р(В)=0,393; Р(D)=0,901; Р(Е)=0,099.
2. Вероятность того, что выиграет меньше половины билетов, если куплено 100 билетов приблизительно равна единице.

 

Задача 4

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

Х	1	2	3
P	P1	1/4	1/3

1. Найти р1.
2. Вычислить вероятность Р(Х≤2).
3. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность Р(Х>М).

Решение.

1. р1 + + = 1, следовательно,

р1 = 1- - =

2. Представим функцию распределения:

              0       при  х

F(x)         при  1 < x ≤ 2

                  при  2 < х ≤ 3

              1       при   х > 3

Таким образом, F (2) = 5/12, следовательно Р(Х≤2) = F (2) = .

3. Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой:

 

Получим:

 

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой:

D(X)=M(X2)-[M(X)]2

 

Тогда

М(Х2) =

D(Х) =

Среднеквадратическое отклонение найдем по формуле:

 

Найдем вероятность Р(Х>М(Х)). Так как М(Х)= , тогда:

Р(Х > ) = Р(2) + Р(3) =

Ответ:

1. р1 =
2. Р(Х≤2) =

D(Х) =

 

Р(Х > ) =  

 

 

 

  
Задача 5

Случайная величина Х распределена по нормальному закону с  математическим ожиданием а=3 и средним квадратическим отклонением σ=2.

1. Записать функцию плотности f(x) и построить ее график.
2. Найти интервал, симметричный относительно центра распределения, в котором случайная величина Х принимает значения с вероятностью 0,9973.
3. Вычислить вероятность Р(-1<Х<2).

Решение.

1. Функции плотности случайной величины Х распределенной по нормальному закону имеет вид:

 

Так как, а=3, σ=2, получаем:

 

График функции будет иметь вид:

2. Чтобы найти интервал, симметричный относительно центра распределения, в котором случайная величина Х принимает значения с вероятностью 0,9973, воспользуемся формулой:

Р(|Х-а| < t) = 2Ф() – 1,

где Ф(х) – нормальная функция распределения.

Тогда

Р(|Х-3| < t) = 2Ф() – 1 = 0,9973

 

Ф() = (0,9973 + 1)/2,

Ф() = 0,99865, по справочным таблицам получим,  = 3 отсюда t = 6.

|x-3| < 6

-6+3 < x < 6+3

-3 < x < 9.

3) Чтобы найти вероятность Р(-1<Х<2) воспользуемся формулой:

Р(α < X < β) = Ф() – Ф(), где Ф(х) функция Лапласа.

Тогда

Р(-1 < X < 2) = Ф() – Ф() = Ф (-0,5) – Ф(-2) = -0,1915 + 0,4772 = 0,286.

Ответ:

2. -3 < x < 9
3. Р(-1 < X < 2) = 0,286

 

 

Задача 6

Приведен дискретный статистический ряд распределения частот наблюдаемого признака х.

хi	10	15	20	25	30	35	40
ni	3	7	10	40	20	12	8

1. Найти выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение S.
2. Построить полигон частот.
3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а с заданной надежностью γ=0,95.

Решение.

1. Выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение S вычисляется по формулам:

Тогда получим:

 

 

 

2. Построим полигон частот.

3. Чтобы найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а воспользуемся формулой:

 

Найдем . По справочным таблицам находим, что = 2,13, если .

Найдем доверительные границы:

 

 

Итак, с надежностью математическое ожидание а заключено в доверительном интервале:

Ответ:

1. Выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение:

 и 

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания а с заданной надежностью γ=0,95:

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

 

 

 

1. Богаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика – М.: 1998.
2. Венцель Е.С. Теория вероятностей – М.: 1962.
3. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементами комбинаторики и математической статистики.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2003.
6. Данко П.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (I и II часть).-М, 2005.
7. Кремер Н.Ш.: «Теория вероятностей и математическая статистика»; М.ЮНИТИ – Дана, 2003.
8. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей – М.: Наука, 1980.
9. Солодовников А.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978.
10. Чистяков В.П. Курс теории вероятности, М.: 2001.
11. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004.