Контрольная работа по «Финансовая математика»

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В  Г. ЛИПЕЦКЕ

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 6

 

 

 

 

 

 

   Преподаватель:

   Уродовских Виктор Николаевич

 

 

 

 

 

 

 

Липецк, 2008

 

 

Задание 1.

Приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года.

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания =0,3,  =0,6,  =0,3.

2)    Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по-первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)   Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5)   Отразить на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.                                                                                                            Табл.1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Данные	36	46	55	35	39	50	61	37	42	54	64	40	47	58	70	43

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

1.Убедимся, что данные обладают свойством сезонности, для этого построим график Y(t) по кварталам и проанализируем его

Рис.1

Из графика видны строго периодические циклические колебания, которые совершаются в течение 4-х лет, что подтверждает сезонность Y(t).

Для оценки начальных значений a₀ и b₀ применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

Y_p(t)=a₀ + b₀*t

Построим график и  закажем линию тренда:

Рис.2

Уравнение имеет вид:

Y_p(t)=41,071+0,8452*t

Из этого уравнения  найдем  расчетные значения Y_p(t) и сопоставим с фактическими (табл.2)

                                                                                                             Табл.2

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	36	46	55	35	39	50	61	37
Yr(t)	41,92	42,76	43,61	44,45	45,30	46,14	46,99	47,83

 

Рассчитаем коэффициенты сезонности:

F(-3)= = =0,8599

F(-2)= =1,0797

F(-1)= =1,2797

F(0)= =0,7805

Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t), F(t) для t=1,2,3…16.(табл.3)

Y_p(0+1)= Y_p(1)= = =

= =36,044

a(1)= =0,3*36/0,8599 + (1-0,3)* =41,900

b(1)= 0,3* +(1-0,3)*0,8452=0,8406

F(1)= =0,6*36/41,9 + (1-0,6)*0,8599=0,8595

Табл.3

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yр(t)	Абс.погр.,E(t)	Отн.погр., в%
0		41,07	0,8452	0,8599
1	36	41,90	0,8406	0,8595	36,04	-0,04	-0,12
2	46	42,70	0,8285	1,0782	46,15	-0,15	0,09
3	55	43,36	0,7789	1,2729	55,71	-0,71	2,41
4	35	44,35	0,8422	0,7857	34,45	0,55	1,57
5	39	45,25	0,8585	0,8609	38,84	0,16	0,31
6	50	46,19	0,8822	1,0808	49,72	0,28	0,57
7	61	47,33	0,9589	1,2825	59,92	1,08	1,78
8	37	47,93	0,8519	0,7775	37,93	-0,93	3,63
9	42	48,78	0,8524	0,8610	42,00	0,00	0,87
10	54	49,73	0,8820	1,0838	53,64	0,36	0,66
11	64	50,40	0,8178	1,2749	64,91	-0,91	1,05
12	40	51,29	0,8387	0,7789	39,82	0,18	2,67
13	47	52,87	1,0604	0,8778	44,88	2,12	4,51
14	58	53,80	1,0234	1,0803	58,45	-0,45	0,29
15	70	54,85	1,0306	1,2757	69,90	0,10	0,47
16	43	55,68	0,9697	0,7750	43,53	-0,53	-1,23

Проверим качество модели по критериям адекватности и точности.

Условие точности можно  считать выполненным, так как  суммарное значение относительных  погрешностей составляет 19,53, что дает среднюю величину 19,53/16=1,22%, что не превышает 5%.

Составим вспомогательную таблицу для оценки адекватности модели.                                                                                        Табл.4

Квартал, t	Отклон, E(t)	Точки поворота	E(t)2	(E(t)-E(t-1))2	E(t)*E(t-1)
1	-0,04		0,00
2	-0,15	0	0,02	0,01	0,01
3	-0,71	1	0,50	0,31	0,11
4	0,55	1	0,30	1,59	-0,39
5	0,16	1	0,03	0,15	0,09
6	0,28	0	0,08	0,01	0,04
7	1,08	1	1,17	0,64	0,30
8	-0,93	1	0,86	4,04	-1,00
9	0,00	0	0,00	0,86	0,00
10	0,36	1	0,13	0,13	0,00
11	-0,91	1	0,83	1,61	-0,33
12	0,18	0	0,03	1,19	-0,16
13	2,12	1	4,49	3,76	0,38
14	-0,45	1	0,20	6,60	-0,95
15	0,10	1	0,01	0,30	-0,05
16	-0,53		0,28	0,40	-0,05
Сумма	1,11	10	8,94	21,62	-2,01

 

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности  уровней.

Проводится на основе критерия поворотных точек. Общее число поворотных точек равно p=10.  Рассчитаем значение q.

q=int =  int = 6.

            Так как количество поворотных  точек p=10 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков  выполнено.

Проверка независимости  уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции).

1. по критерию Дарбина-Уотсона:

=21,62/8,94=2,42>2 следовательно d`=4-d=4-2,42=1,58

т.к. d₁< d₂ <d`=1,58 , то имеется неопределенность, поэтому необходимо рассчитать первый коэффициент автокорреляции:

= -2,01/8,94=-0,22, т.к. модуль r(1)=0,22 <  r(1)_табл=0,32,  то автокорреляция отсутствует и уровни ряда остатков независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по R/S-критерию.

R/S= (E_max - E_min)/S,  S=

S= =0,77    RS=(2,12 - (-0,93))/0,77 = 3,05/0,77=3,96

Полученное значение сравним с табличным 3 < 3,96< 4,21. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_р(t) на четыре квартала вперед.

Составим прогноз на 4 квартала вперед.

Y_р(17)=Y_р(16+1)= = = 0,8778=49,73

Y_р(18)=Y_р(16+2)= = = 1,0803=62,25

Y_р(19)=Y_р(16+3)= = = 1,2757=74,74

Y_р(20)=Y_р(16+4)= = = 0,7750=46,15

Рис.3 Сопоставление расчётных (ряд 1)и фактических (ряд 2)данных

Из рисунка видно, что  расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R? %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.                                           Табл.5

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	600 560 536 545 583 587 582 573 610 645	550 530 501 521 540 562 561 556 579 585	555 530 524 539 569 581 562 573 592 645

 

Решение.

Найдем экспоненциальную скользящую среднюю:

EMA_t=C_tk + (1-k)EMA_t-1

k=2/(n+1)=2/6=0,33

EMA для 5-ти дней найдем как отношение цен закрытия за первые 5 дней к 5:

2717/5=543,40

 

 

 

 

 

 

Остальные значения рассчитаем по формуле (рис.4):

                                                                                                Рис.4

 

Рис.5

Так как EMA проходит под графиком цен, то график является «бычьм».

Найдем момент:

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад : MOM_t=C_t - C_t-n  

Рис.6

 

Построим график:

Рис.7

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен. Движение графика момента вверх считается достаточно мощным сигналом к покупке.

Найдем скорость изменения цен:

ROC_t=(C_t/C_t-n)* 100%

 

Рис.8

Рис.9

ROC также как и МОМ показывает сигнал к покупке

Найдем индекс относительной силы:

RSI=100-

Строим вспомогательную  таблицу:                                                Табл.6

Рис.10

Рис.11

Как видно из рисунка (рис.11), индекс относительной силы вышел из зоны перекупленности, что может служить сигналом к покупке.