Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика»

 

Томский государственный  университет 

систем управления и  радиоэлектроники (ТУСУР)

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

 

по дисциплине «Высшая математика1»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №1.6

 

1. Найдите матрицу D = (CA – BA), если

 

  С =   ^{3    4    4}  ;   B = ^{-3   1   4}   ;     A =     ^{1    1}

                ^{1   -3    5                  2 - 3   4                          -1    1}

       ^{-1    1    .}

 

      ^{Решение:}

   ^{Используя свойство  операций над матрицами,  можно записать:}

   D = (CA – BA) = (C –B) A ^,

 

   С - B =     ^{3   4   4}   -    ^{-3  1  4}   =   ^{3 – (-3)        4 – 1          4 – 4}    =  ^{6    3     0  ,}

                      ^{1  -3   5              2 -3  4          1    -2        -3 - (-3)       5 – 4         -1     0    1}

   ^тогда                                                              

 D = (C – B) A =    ^{6    3    0}  ×  ^{1    1} =  ^{6 × 1 + 3× (-1) + 0× (-1)      6 × 1 + 3 × 1 + 0 × 1}     =

                                 ^{-1    0    1         -1   1       -1 × 1 + 0 × (-1) + 1 × (-1)   -1 × 1 + 0 × 1 + 1 × 1}

                                                            ^{-1   1}

= ^{3    9}   ,

    ^{-2    0}

Ответ: D = (CA – BA) =    ^{3    9}

     ^{-2    0 .}

                                                             

                                                                    ^{1      -1      -1      2}

2. Вычислите определитель  D =         ^{2      3       3      - 4}

                                                                       ^{1       1       2       5}

                                                                       ^{4       2       3      16}

Решение: Опредилитель D можно упростить, при этом ответ останется неизменным. Для этого сделаем следующие действия:

1. Первую строку умножим на  (-2)  и прибавим ко второй строке.
2. Элементы  1-й строки умножим на  (-1) и прибавим к  3-й строке.
3. Элементы  1-й строки умножим на  (-4) и прибавим к  4-й строке.

Получим:

 

           ^{1    -1    -1     2                1    -1    -1     2} 

D =     ^{2     3     3    -4}       =    ^{0     5     5    -8}    ,

           ^{1     1     2      5                0     2     3     3}

             ^{4     2      3    16                0     6     7     8}

 Разложим этот определитель  по элементам 1-й столбца и  вычислим получившийся определитель  по правилу треугольников:

           ^{1    -1    -1     2}                                          5    5   -8

D =   ^{0     5     5    -8}    =   1 × (-1)  ¹⁺¹   ×   2    3    3     = 

         ^{0     2     3     3}                                           6    7    8

          ^{0     6      7     8}

= 5 × 3 × 8 + 5 × 3 × 6 + 2 × 7 × (-8) – (-8) × 3 × 6 – 5 × 2 × 8 – 5 × 3 × 7 =

= 120 + 90 – 112 + 144 – 80 – 105 = 57.

Ответ: D = 57.

3. Решите матричное уравнение:

  1    1    1                           1   -1    0

  2   -3    1  ×  X =  42   ×   2     2    2

  4    1   -5                           0   -3   -2   .

 Решение  обозначим:

        1     1     1                        1   -1   0

  A =  2    -3     1   ,   B = 42  × 2    2    2

          4     1    -5                        0   -3   -2  .

  Тогда данное уравнение  можно записать в виде  AX = B. Вычислим:

                  1    1    1         1     1    1

   det A =   2   -3    1    =   0   -5  -1    = 1 × (-1) ^{1+1   -5    -1}   =

                    ^{4      1   -5          0    -3    -9                                 -3   -9}

= -5 × (-9) – (-3) × (-1) = 42.

Матрица  A  невырожденная, а поэтому имеет обратную А ^-1. Поэтому

X = A ^-1 × B. Находим матрицу А ^-1 .

           ₁          A¹₁     A²₁     A³₁

A ^-1 =  —         A¹₂      A²₂     A³₂  ;

                ^detA        A¹₃      A²₃     A³₃

 

                       _{-3       1                                         1     1                                         1    1}

A¹₁= (-1) ¹⁺¹    _{1      -5} = 14 ; A²₁ = (-1)²⁺¹  _{1   -5} = 6 ; A ³₁ = (-1)³⁺¹  _{-3    1} = 4;

                       2      1                                    1    1                                 1   1

A¹₂ = (-1)¹⁺²      _{4       -5}    = 14;  A²₂ = (-1)²⁺²  _{4    -5}   = -9; A³₂ = (-1)³⁺²       _{2    1}   = 1;

                       2    -3                                  1    1                                1   1

A¹₃ = (-1)¹⁺³    _{4       1}  =  14;  A²₃ = (-1)²⁺³    _{4     1}  = 3;  A³₃ = (-1)³⁺³       _{2   -3}  = -5;

 

                                      ₁          14       6      4

Таким образом: A^-1 = —         14     -9      1    ,

                                                  ⁴²        14      3     -5

 

                          ₁           14     6     4                  1   -1     0

X = A-1× B =  —        14    -9     1  × 42 ×    2     2    2    = 

                           ⁴²         14    3    -5                    0   -3   -2

 

 

     14 + 12       -14 +12 – 12      12 – 8            26   -14    4

=   14 – 18       -14 – 18 – 3      -18 – 2     =     -4   -35  -20

     14 + 6         -14 + 6 + 15       6 + 10            20     7    16    .

Проверка:

 

                 1    1    1        26   -14     4

A × X =    2   -3    1  ×   -4    -35   -20    =  

                 4    1   -5        20     7      16

 

      26 – 4  + 20        -14 – 35 + 7         4 – 20 + 16

=    52 + 12 + 20        -28 + 105 +7       8 + 60 + 16     =

      104 – 4 – 100      -56 – 35 – 35      16 – 20 – 80

 

     42    -42     0                       1  -1    0

=   84     84     84    =  42   ×    2    2    2    =  B.

     0     -126   -84                    0   -3   -2

 

                           26    -14       4

Ответ:  X =       -4      -35     -20

                           20      7        16   .

 

 

4.  При каком значении параметра   q , если оно существует, обведенный

минор ( здесь выделен  жирным шрифтом) А является базисным? Матрица А имеет вид:

          ^{1     2     3   -1    2}

A =    ^{1    -1   -1     2    1}

           ^{5      1    3     4    7}

             ^{-1     7     q   - 8   1}

Решение: Так  как  обведенный минор второго  порядка не равен нулю, то для  того чтобы принять его за базисный  нужно, чтобы 3-я и 4-я строка матрицы А были

линейной комбинацией  первых двух строк.

Обозначим λ₁ и λ₂ коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых

3-я строка  выражается через первые две,  т.е. λ₁(1, 2, 3, -1, 2) +λ₂ (1, -1, -1, 2, 1) =

= (5, 1, 3, 4, 7).

Получим систему:

   λ₁ + λ₂ = 5          Сложим  1-ое и 2-ое  уравнение, получим:

  2λ₁ – λ₂ = 1           3λ₁ = 6 ,     λ₁ = 2 .

  3λ₁ – λ₂ = 3         Подставим λ₁ = 2   в 1-ое уравнение получим:

  -λ₁ + 2λ₂ = 4        2 + λ₂ = 5 ;  λ₂ = 3

  2λ₁ + λ₂ = 7

 

Заметим, что λ₁ =2 и λ₂ = 3 подходят для всех пяти уравнений. Отсюда следует, что

3-я строка матрицы А есть линейная комбинация первых двух строк.

Обозначим λ₃ и λ₄  коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых

4-я строка выражается  через первые две, т.е.

λ₃(1, 2, 3, -1, 2) + λ₄(1, -1, -1, 2, 1) = (-1, 7, 9, -8, 1).

Получим систему:

 

  λ₃ + λ₄ = -1       Сложим  1-ое и 2-ое уравнение, получим:

  2λ₃ – λ₄ = 7            3λ₃ = 6 ;     λ₃ = 2.

  3λ₃ – λ₄ = q         Подставим λ₃ = 2  в 1-ое уравнение, получим:

 -λ₃ + 2λ₄ = -8          2 + λ₄ = -1 ;   λ₄ = -3.

2λ₃ + λ₄ = 1

 

 

Подставив  λ₃ = 2  и λ₄ = -3  в 3-е уравнение найдем значение параметра q :

  3 × 2 – (-3) = q ;   q = 9.

Заметим, что  λ₃ = 2 и λ₄ = -3 подходят для всех пяти уравнений. Отсюда следует,

что  при q = 9 ,   4-я строка является линейной комбинацией 1-ой и 2-ой  строк.

Тогда ранг матрицы А: r (А) = 2 и минор ^{-1    2}    можно принять за базисный.

                                                                        ^{2    1}

Ответ: q = 9.

 

5.  Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора:

 f₁(4, 2, -1), f₂(5, 3, -2), f₃(3, 2, -1), x(12, 7, -3).Докажите, что векторы

f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты

 вектора  x в базисе f₁.

Решение: составим матрицу  С, записав в её столбцах координаты

векторов  f₁, f₂, f₃ :

 

             4     5     3

С =       2     3     2   , 

            -1   -2    -1

Вычислим опрелилитель этой матрицы:

               4    5    3

Det С =   2    3    2   =  4 × 3 ×(-1) + 5 × 2 ×(-1) + 2 × 3 ×(-2) - 

              -1   -2  -1

- 3 × 3 ×(-1) – 5 × 2 ×(-1) – 4 × 2 ×(-2) =1.

Так как  det С =1 ≠ 0, то векторы f₁, f₂, f₃ линейно независимы, а потому

могут быть приняты в качестве базиса в R₃. Матрица С невырожденная,

а потому имеет обратную  С ^-1. Найдем ее:

 

 

A¹₁= (-1)^{1+1   3    2}  = 1; A²₁= (-1)^{2+1   5     3}   = -1; A³₁ = (-1)^{3+1     5     3}    = 1;

                                ^{-2   -1                                              -2   -1                                                       3     2}

 

A¹₂= (-1)^{1+2    2     2}  = 0; A²₂ = (-1)^{2+2    4    3}     = -1; A³₂ = (-1)^{3+2     4       3}   = -2;

                                ^{-1    -1                                               -1   -1                                                      2      2}

 

A¹₃= (-1)^{1+3    2      3}    = -1; A²₃ = (-1)^{2+3     4      5}   = 3; A³₃ = (-1)^{3+3      4       5}   = 2.

                                ^{-1    -2                                                   -1   -2                                                   2       3}

 

                 ₁              A¹₁      A²₁     A³ ₁         1    -1     1

С ^-1 = — ×    A¹₂      A²₂   A³₂   =    0    -1    -2

          ^det           A¹₃    A²₃     A³₃         -1      3      2    .

 

Новые координаты η¹, η², η³  вектора x :

  η¹              1    -1     1       12          12 – 7 – 3           2

  η²   =    0    -1    -2  ×   7   =     0  – 7 +  6    =   -1

  η³            -1     3     2       -3         -12 + 21 – 6          3

               η¹                   2

Ответ:    η²    =      -1

                        η³                  3 .

 

 

6.  Докажите, что система

 

      x₁ – x₂ – x₃ + 2x₄ = 1

     2x₁ + 3x₂ + 3x₃ – 4x₄ = 5

      x₁ + x₂ + 2x₃ + 5x₄ = -3

     4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 16x₄ = -9

 

 

имеет единственное решение. Неизвестное  x₂ найдите по формулам

Крамера. Решите систему  методом Гаусса.

 

Решение:  Найдем определитель системы:

 

             1    -1  -1    2             1    1   -1    2            3     5    8

  D =     2     5    3   -4     =      0    3    5  -8    =    -4     3    3    =

             1     1    2    5              0   -4   3    3          -13   7    8

             4     2    3   16             0  -13  7    8

 

=  5 × 3 ×8 + 5 × 3 × 6 + 2 × 7 ×(-8) – (-8) × 3 ×6 – 3 × 7 × 5 – 5 × 2 × 8 = 57.

  D ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение.

  Находим  определитель D₂ ( в определителе D  2-й столбец заменен

столбцом свободных членов).

 

             1    1   -1     2          1    1   -1    2            3     5    -8

  D₂ =    2    5    3    -4     = 0    3    5   -8     =   -4     3     3    =

             1   -3    2     5          0  - 4    3    3          -13    7     8

             4   -9    3    16         0 -13   7    8

 

= 3 ×3 × 8 +5 × 3 ×(-13) + (-4) × 7 ×(-8) – (-8) × 3 ×(-13) – 3 × 3 ×7 –

- 5 × (-4) × 8 = 72 – 195 + 224 – 312 – 63 + 160 = - 114.

                                              D₂          -114

По формуле Крамера  x₂ =  — =    —   =  - 2.

                                               D         57