Контрольная работа по дисциплине методы оптимальных решений

    Контрольная работа №1

             по дисциплине: Методы оптимальных решений

           Вариант 10

 

 

2.10

Фирма производит два безалкогольных напитка – лимонад и тоник. Объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л лимонада требуется 0,02 ч, для производства 1 л тоника – 0,04 ч работы оборудования. Расход специального ингредиента составляет 0,01 и 0,04 кг на 1 л лимонада и тоника соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л лимонада и 0,30 ден. ед. за 1 л тоника.

Определите, сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Введем следующие обозначения:

х₁ – количество первого напитка («Лимонад»)

х₂ – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х₁ (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х₂ (ден. ед.). Так как нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х_1,х₂) = 0,1 х₁ + 0,3 х₂.

Ограничения задачи имеют  вид: 0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ 16;

х_1,2 0.

Построим прямые, соответствующие  ограничениям задачи: первая прямая имеет  вид 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24, решением ее служат точки (1200;0)  
и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства  системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную  прямую и расположенная по одну сторону  от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.Область допустимых решений

 

На рисунке 3 серым цветом обозначена область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся в направлении вектора-градиента.

Решая систему уравнений

 

 

 

 

 

 

Находим, что х₁ = 800, х₂ = 200.

max f(х_1,х₂) = 0,1 *800 + 0,3*200 = 140 (ден. ед.)

 

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х₁ = 800, х₂ = 200). Если задачу решать на min, то f(min)= ∞, т.е. не имеет конечного оптимума, т.к. область допустимых значений не ограничена снизу.